Chủ đề này có 3 trả lời

[Be Strong]

Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn: xy+yz+xz=xyz
Tìm min P = $\frac{1}{x(x-1)^2}+\frac{1}{y(y-1)^2}+\frac{1}{z(z-1)^2}$

[nguyenthehoanhsgs]

ta cm minP = $\frac{1}{4}$
vi xy+yz+zx=xyz suy ra x, y, z >1 va $\sum \frac{1}{x}$=1
dat x=$\frac{b+c}{a}$+1, y=$\frac{c+a}{b}$+1, z=$\frac{a+b}{c}$+1 ta dua bdt can chung minh ve
$\sum \frac{a^{3}}{(a+b+c)(b+c)^{2}}$>=$\frac{1}{4}$
ta co $\sum \frac{a^{3}}{(b+c)^{2}}$>=$\frac{(a+b+c)^{3}}{4(a+b+c)^{2}}$=$\frac{a+b+c}{4}$ (bat dang thuc holder)
chia hai ve cho (a+b+c) ta co dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthehoanhsgs: 01-12-2012 - 23:15

[Be Strong]

ta cm minP = $\frac{1}{4}$
vi xy+yz+zx=xyz suy ra x, y, z >1 va $\sum \frac{1}{x}$=1
dat x=$\frac{b+c}{a}$+1, y=$\frac{c+a}{b}$+1, z=$\frac{a+b}{c}$+1 ta dua bdt can chung minh ve
$\sum \frac{a^{3}}{(a+b+c)(b+c)^{2}}$>=$\frac{1}{4}$
ta co $\sum \frac{a^{3}}{(b+c)^{2}}$>=$\frac{(a+b+c)^{3}}{4(a+b+c)^{2}}$=$\frac{a+b+c}{4}$ (bat dang thuc holder)
chia hai ve cho (a+b+c) ta co dpcm

bạn ơi, mình chỉ làm bđt thi đh thôi, bạn dùng cách nó bớt "hsg" chút đc ko?

[KietLW9]

Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn: xy+yz+xz=xyz
Tìm min P = $\frac{1}{x(x-1)^2}+\frac{1}{y(y-1)^2}+\frac{1}{z(z-1)^2}$

Lời giải.

Từ giả thiết suy ra: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$

Đặt $(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})\rightarrow (a,b,c)$ thì $\left\{\begin{matrix}a,b,c>0 & \\ a+b+c=1 & \end{matrix}\right.$

Và $P=\frac{a^3}{(1-a)^2}+\frac{b^3}{(1-b)^2}+\frac{c^3}{(1-c)^2}$

Ta dễ dàng có:

$P=\frac{(3a-1)^2}{4(1-a)^2}+\frac{(3b-1)^2}{4(1-b)^2}+\frac{(3c-1)^2}{4(1-c)^2}+\frac{4(a+b+c)-3}{4}\geqslant \frac{1}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=3$