$\frac{\sqrt{b^{2}+2a^{2}}}{ab}+\frac{\sqrt{c^{2}+2b^{2}}}{bc}+ \frac{\sqrt{a^{2}+2c^{2}}}{ac}$$\geq\sqrt{3}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi beontop97: 04-12-2012 - 19:50
\sum\frac{\sqrt{b^{2}+2a^{2}}}{ab}\geq \sqrt{3}$
Bắt đầu bởi beontop97, 04-12-2012 - 19:47
#1
Đã gửi 04-12-2012 - 19:47
beontop97
-
- Thành viên
-
- 56 Bài viết
Hạ sĩ
Cho a,b,c >0 và ab + bc + ca = abc. Chứng minh :
$\frac{\sqrt{b^{2}+2a^{2}}}{ab}+\frac{\sqrt{c^{2}+2b^{2}}}{bc}+ \frac{\sqrt{a^{2}+2c^{2}}}{ac}$$\geq\sqrt{3}$$
$\frac{\sqrt{b^{2}+2a^{2}}}{ab}+\frac{\sqrt{c^{2}+2b^{2}}}{bc}+ \frac{\sqrt{a^{2}+2c^{2}}}{ac}$$\geq\sqrt{3}$$
#2
Đã gửi 04-12-2012 - 20:01
Sagittarius912
-
- Thành viên
-
- 776 Bài viết
Trung úy
áp dụng Cauchy-Schwarz ta cóCho a,b,c >0 và ab + bc + ca = abc. Chứng minh :
$\frac{\sqrt{b^{2}+2a^{2}}}{ab}+\frac{\sqrt{c^{2}+2b^{2}}}{bc}+ \frac{\sqrt{a^{2}+2c^{2}}}{ac}$$\geq\sqrt{3}$$
$(b^{2}+a^{2}+a^{2})(1+1+1)\geq (b+2a)^{2}\Rightarrow (b^{2}+2a^{2})\geq \frac{(b+2a)^{2}}{3}$
tương tự như thế.ta có
$\sum \frac{\sqrt{b^{2}+2a^{2}}}{\sqrt{3}ab}\geq \frac{b+2a}{\sqrt{3}ab}+\frac{a+2c}{\sqrt{3}ac}+\frac{c+2b}{\sqrt{3}bc}$
mà$\frac{b+2a}{\sqrt{3}ab}+\frac{a+2c}{\sqrt{3}ac}+\frac{c+2b}{\sqrt{3}bc}= \frac{1}{\sqrt{3}}\frac{((b+2a)c+(a+2c)b+(c+2b)a}{abc}= \sqrt{3}$
=> dpcm
dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=3$
- beontop97 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
