Chủ đề này có 1 trả lời

[anhxuanfarastar]

Cho $\bigtriangleup ABC$ nhọn. CMR: $\sqrt{a^2b^2-4S^2}+\sqrt{a^2c^2-4S^2}=a^2$

[IloveMaths]

Gọi S,R , a,b,c lần lượt là diện tích,bán kính đường tròn ngoại tiếp ,BC,AC,AB của tam giác ABC
Ta cần chứng minh:
$\sqrt{a^2b^2-4S^2}+\sqrt{a^2c^2-4S^2}=a^2 \Leftrightarrow \frac{a^2b^2-4S^2-a^2c^2+4S^2}{\sqrt{a^2b^2-4S^2}-\sqrt{a^2c^2-4S^2}}=a^2\Leftrightarrow b^2-c^2=\sqrt{a^2b^2-4S^2}-\sqrt{a^2c^2-4S^2}\Leftrightarrow$$b^2-c^2=\sqrt{a^2b^2-\frac{a^2b^2c^2}{4R^2}}-\sqrt{a^2c^2-\frac{a^2b^2c^2}{4R^2}} \Leftrightarrow b^2-c^2=ab\sqrt{1-\frac{c^2}{4R^2}}-ac\sqrt{1-\frac{b^2}{4R^2}}=\frac{ab\sqrt{4R^2-c^2}-ac\sqrt{4R^2-b^2}}{2R}=\frac{ab\sqrt{\frac{c^2}{sin^2C}-c^2}-ac\sqrt{\frac{b^2}{sin^2B}-b^2}}{2R} =\frac{abc\left [ \sqrt{\frac{1}{sin^2C}-1}-\sqrt{\frac{1}{sin^2B}-1} \right ]}{2R} =\frac{abc(cotC.cotB)}{2R}=\frac{4RS.(cotC-cotB)}{2R}=2S.(cotC-cotB)$
dễ đang chứng minh được :
$cotC=\frac{a^2+b^2-c^2}{4S};cotB=\frac{a^2+c^2-b^2}{4S} \Rightarrow 2S(cotC.cotB)=2S.(\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}-\frac{a^2+c^2-b^2}{4S})=b^2-c^2$

"Nếu là con chim chiếc là
Thì con chim phải hót
Chiếc là phải bay
Lẽ nào vay mà ko trả
Sống là cho đâu chỉ nhận riêng mình".




Hãy like nhé