Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c>0$. Chứng minh rằng:
$\frac{a^2}{3a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{3b^2+(c+a)^2}+\frac{c^2}{3c^2+(a+b)^2}\leq \frac{1}{2}$
$\sum \frac{a^2}{3a^2+(b+c)^2}\leq \frac{1}{2}$
Bắt đầu bởi nvhmath, 05-12-2012 - 22:54
#2
Đã gửi 06-12-2012 - 10:08
Joker9999
-
- Thành viên
-
- 659 Bài viết
Thiếu úy
Giải như sau:Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c>0$. Chứng minh rằng:
$\frac{a^2}{3a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{3b^2+(c+a)^2}+\frac{c^2}{3c^2+(a+b)^2}\leq \frac{1}{2}$
Ta sẽ CM : $\frac{a^2}{3a^2+(b+c)^2}\leq \frac{a}{2(a+b+c)}$
$\Leftrightarrow 2a(a+b+c)\leq 3a^2+(b+c)^2$
$\Leftrightarrow 2a^2+2ab+2ac\leq 3a^2+b^2+c^2+2bc$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2bc-2ab-2ac\geq 0$
$\Leftrightarrow (b+c-a)^2\geq 0$.Luôn đúng .
Tương tư có 2 bđt nua rồi cộng vào có ngay đpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b,c=0$ và các hoán vị.
- nvhmath yêu thích
<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.
.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
