Chủ đề này có 1 trả lời

[Be Strong]

Cho đường thẳng d: $\left\{\begin{matrix}x=1+t & & \\ y=2-t & & \\ z=-1+t & & \end{matrix}\right.$, mặt phẳng $\alpha$: x+y-z+3=0, điểm M(12,-4,0). Gọi A là giao điểm của (d) và $(\alpha )$.Viết phương trình đường thẳng qua M, cắt (d) và $(\alpha )$ tại B, C sao cho tam giác ABC cân tại B.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Be Strong: 08-12-2012 - 12:27

[E. Galois]

Mặt phẳng $(\alpha)$ có vector pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1;1;-1)$. Đường thẳng $d$ có vector chỉ phương $\overrightarrow{m} = (1;-1;1)$

Ta có $A(8;-5;6)$. Mặt phẳng $(ABM)$ có vector pháp tuyến $\overrightarrow{u}=(1;2;1)$

Đường thẳng $AC$ là giao tuyến của $(ABM)$ và $(\alpha)$ nên có vector chỉ phương:

 

$$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{n} = (-3;2;-1)$$

 

Ta có:

$$cos\widehat{CAB}=\frac{\left | \overrightarrow{m}. \overrightarrow{v}\right |}{\left |\overrightarrow{m}  \right |. \left |\overrightarrow{v}  \right |} = \frac{6}{\sqrt{42}}$$

 

Giả sử $B(1+t;2-t;-1+t)$. Ta có: $\overrightarrow{BM}=(11-t;t-6;1-t)$

$$cos\widehat{ACB}=\frac{\left | \overrightarrow{BM}. \overrightarrow{v}\right |}{\left |\overrightarrow{BM}  \right |. \left |\overrightarrow{v}  \right |} = \frac{|6t-46|}{\sqrt{14}.\sqrt{3t^2-36t+158}}$$

 

Vì tam giác $ABC$ cân nên ta có:

$$ \frac{6}{\sqrt{42}}= \frac{|6t-46|}{\sqrt{14}.\sqrt{3t^2-36t+158}} \Leftrightarrow t = \frac{11}{6}$$

 

Vậy $B\left ( \frac{17}{6};\frac{1}{6};\frac{5}{6} \right )$

 

Đường thẳng cần tìm có phương trình:

$$\left \{ \begin{matrix}x=&\frac{17}{6}&+11t\\ x=&\frac{1}{6}&-5t\\z=&\frac{5}{6}&-t\end{matrix}\right.$$