Cho các số không âm a,b,c. CMR $\sum \frac{a^4}{a^3+abc+b^3}\geq \frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$
Cho các số không âm a,b,c. CMR $\sum \frac{a^4}{a^3+abc+b^3}\geq \frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$
Bắt đầu bởi anhxuanfarastar, 11-12-2012 - 23:12
#1
Đã gửi 11-12-2012 - 23:12
anhxuanfarastar
-
- Thành viên
-
- 368 Bài viết
Sĩ quan
#2
Đã gửi 13-12-2012 - 22:12
Joker9999
-
- Thành viên
-
- 659 Bài viết
Thiếu úy
Giải như sau:Cho các số không âm a,b,c. CMR $\sum \frac{a^4}{a^3+abc+b^3}\geq \frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta có:
$VT\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{()a^5+a^3bc+a^2b^3)}\geq \frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$
$\Leftrightarrow a^2c^3+c^2b^3+b^2a^3\geq abc(a^2+b^2+c^2)$
Chuẩn hoá $abc=1$, Ta có:
$\sum (\frac{a^2b}{c}+bc-2ab)\geq a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc$
$\Leftrightarrow \sum \frac{b(a-c)^2}{c}\geq \frac{1}{2}\sum (a-b)^2$
Tới đây đặt các hệ số tương ứng:
$S_a=\frac{a}{b}-\frac{1}{2};S_b=\frac{b}{c}-\frac{1}{2};S_c=\frac{c}{a}-\frac{1}{2}$
Chắc là dễ rồi.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
- Mai Duc Khai, anhxuanfarastar và Issac Newton thích
<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.
.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
