Chủ đề này có 5 trả lời

[diepviennhi]

Chứng minh : $\cos \frac{\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} + \cos \frac{5\pi}{7} = \frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 14-12-2012 - 19:34

[Primary]

Chứng minh $\cos \frac{\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} + \cos \frac{5\pi}{7} = \frac{1}{2}$

Nhận thấy rằng $\frac{\pi}{7}$ $,$ $\frac{3\pi}{7}$ $,$ $\frac{5\pi }{7}$ là nghiệm của phương trình $7x = \pi + k2\pi \Leftrightarrow \cos 3x = -\cos 4x \Leftrightarrow 8\cos^{4}x + 4\cos^{3}x - 8\cos^{2}x - 3\cos x + 1 = 0$. Đặt $t = \cos x$ $\Rightarrow$ $\cos \frac{\pi}{7}$ $,$ $\cos \frac{3\pi}{7}$ $,$ $\cos \frac{5\pi}{7}$ là nghiệm của $8t^4 + 4t^3 - 8t^2 - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow 8t^3 - 4t^2 - 4t + 1 = 0$ (do $\cos \frac{\pi}{7}$ $,$ $\cos\frac{3\pi}{7}$ $,$ $\cos \frac{5\pi}{7}$ $\neq$ $-1$). Theo đinh lí Viète ta có $t_1 + t_2 + t_3 = \cos \frac{\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} + \cos \frac{5\pi}{7} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow$ $\mathrm{Q.E.D}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 14-12-2012 - 19:41

[BoFaKe]

Nhận thấy rằng $\frac{\pi }{7},\frac{3\pi }{7},\frac{5\pi }{7}$ là nghiệm của phương trình $7x=\pi +k2\pi \Leftrightarrow cos3x=-cos4x\Leftrightarrow 8cos^{4}x+4cos^{3}x-8cos^{2}x-3cosx+1=0$
Đặt t = cosx $\Rightarrow$ $cos\frac{\pi }{7},cos\frac{3\pi }{7},cos\frac{5\pi }{7}$ là nghiệm của
$8t^4+4t^3-8t^2-3t+1=0\Leftrightarrow 8t^3-4t^2-4t+1=0$ ( do $cos\frac{\pi}{7}, cos\frac{3\pi}{7}, cos\frac{5\pi}{7}$ khác -1)
Theo đinh lí Vietè ta có $t_1+t_2+t_3=cos\frac{\pi}{7}+cos\frac{3\pi}{7}+ cos\frac{5\pi}{7}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ (đpcm)

Cách làm không được tự nhiên cho lắm,tại sao ta lại có thể biết nghiệm khi mà ta không giải ra.Nếu làm như thế này đi thi chắc chắn sẽ không có điểm đâu.

[Primary]

Cách làm không được tự nhiên cho lắm,tại sao ta lại có thể biết nghiệm khi mà ta không giải ra.Nếu làm như thế này đi thi chắc chắn sẽ không có điểm đâu.

Quá trình giải rất phức tạp, trong khi đó cách này là phổ biến và dễ chứng minh nhất, nếu không bạn thử hãy giải bài toán sau :
Tính tổng : $S = \sqrt[3]{\cos \frac{n\pi}{7}} + \sqrt[3]{\cos \frac{(n + 2)\pi}{7}} + \sqrt[3]{\cos \frac{(n + 4)\pi}{7}}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 14-12-2012 - 19:42

[nthoangcute]

Chứng minh $$\cos\dfrac{\pi }{7}+\cos\dfrac{3\pi }{7}+\cos\dfrac{5\pi }{7}=\dfrac{1}{2}$$

Sao không ai làm cách này nhỉ ?
Ta có :
$\sin \dfrac{\pi}{7} (\cos \dfrac{\pi}{7} + \cos \dfrac{3\pi}{7} + \cos \dfrac{5\pi}{7})$
$= \dfrac{1}{2} (\sin \dfrac{2\pi}{7} + \sin \dfrac{4\pi}{7} - \sin \dfrac{2\pi}{7}+ \sin \dfrac{6\pi}{7} - \sin \dfrac{4\pi}{7})$
$= \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi}{7}$
$\Rightarrow$ $\mathrm{Q.E.D}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 14-12-2012 - 19:45

[25 minutes]

Có cách khác nhưng hơi dài 1 tí
Đặt $z=cos\frac{\pi }{7}+isin\frac{\pi }{7}$
Dễ thấy $cos\frac{\pi }{7}+cos\frac{3\pi }{7}+cos\frac{5\pi }{7}=-(cos\frac{2\pi }{7}+cos\frac{4\pi }{7}+cos\frac{6\pi }{7})$ (1)
Ta có: $\frac{z^7-z}{z^2-1}=z+z^3+z^5$
$\Rightarrow z+z^3+z^5=\frac{cos\pi +isin\pi -z}{z^2-1}=\frac{1}{1-z}$
Nhân chéo, tách phần thực ta được $cos\frac{\pi }{7}+cos\frac{3\pi }{7}+cos\frac{5\pi }{7}=1-(cos\frac{2\pi }{7}+cos\frac{4\pi }{7}+cos\frac{6\pi }{7})$
Kết hợp với (1) ta được đpcm ?