Cho $\Delta ABC (a,b,c)$
CMR: $a^{2}b(a-b)+ b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a) \geq 0$
Cho $\Delta ABC (a,b,c)$. CMR: $a^{2}b(a-b)+ b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a) \geq 0$
Bắt đầu bởi DTH1412, 14-12-2012 - 22:49
#2
Đã gửi 14-12-2012 - 23:12
tramyvodoi
-
- Thành viên
-
- 1044 Bài viết
Thượng úy
Do $a^{2}b(a-b)=a^{2}b(b+c-a)-a^{2}bc$ nên bđt cần cm tương đương với
$\sum a^{2}b(c+a-b)\geq abc(a+b+c)$
hay $\frac{a(c+a-b)}{c}+\frac{b(a+b-c)}{a}+\frac{c(b+c-a)}{b}\geq a+b+c$
Áp dụng bđt C-S
VT$\geq \frac{(a(c+a-b)+b(a+b-c)+c(b+c-a))^{2}}{ca(c+a-b)+ab(a+b-c)+bc(b+c-a)}$
=$\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-3abc}$
Do đó, ta sẽ cm:
$(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq {ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-3abc}$
<=>$a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq \sum a^{3}(b+c)$
đây là schur bậc 4
đpcm
$\sum a^{2}b(c+a-b)\geq abc(a+b+c)$
hay $\frac{a(c+a-b)}{c}+\frac{b(a+b-c)}{a}+\frac{c(b+c-a)}{b}\geq a+b+c$
Áp dụng bđt C-S
VT$\geq \frac{(a(c+a-b)+b(a+b-c)+c(b+c-a))^{2}}{ca(c+a-b)+ab(a+b-c)+bc(b+c-a)}$
=$\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-3abc}$
Do đó, ta sẽ cm:
$(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq {ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-3abc}$
<=>$a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq \sum a^{3}(b+c)$
đây là schur bậc 4
đpcm
- DTH1412 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
