Mình có bài này mà mình nghĩ là hay hay (vì mik` nghĩ mãi mà ko có cách nào đơn giản!!), chia sẻ với mọi người:
Cho $a,b,c$ thuộc $[0;2], a+b+c=3$, cmr $a^{2}+b^{2} +c^{2}\leq 5$
Cách giải càng sơ cấp càng tốt nhé!!!
$a,b,c$ thuộc $[0;2], a+b+c=3$, cmr $a^{2}+b^{2} +c^{2}\leq 5$
Bắt đầu bởi coolcoolcool1997, 15-12-2012 - 19:13
#2
Đã gửi 15-12-2012 - 19:29
Mai Xuan Son
-
- Thành viên
-
- 274 Bài viết
Vagrant
Bạn chỉ cần xétMình có bài này mà mình nghĩ là hay hay (vì mik` nghĩ mãi mà ko có cách nào đơn giản!!), chia sẻ với mọi người:
Cho $a,b,c$ thuộc $[0;2], a+b+c=3$, cmr $a^{2}+b^{2} +c^{2}\leq 5$
Cách giải càng sơ cấp càng tốt nhé!!!
$(2-a)(2-b)(2-c)\geq 0$
bằng khai triển trự tiếp,ta có:
$2ab+2bc+2ac\geq 4+abc\geq 4$
$(a+b+c)^2\geq 4+a^2+b^2+c^2$
hay $a^2+b^2+c^2\leq 5$
Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2)$ và các hoán vị
- coolcoolcool1997, Sagittarius912 và duy1237 thích
~~~like phát~~~
#3
Đã gửi 15-12-2012 - 19:33
duy1237
-
- Thành viên
-
- 3 Bài viết
Lính mới
Đặt x= a-1; y= b-1; z=c-1, khi đó x,y,z $\epsilon [-1;1]$ và x+y+z = 0
$=> a^2 + b^2 + c^2 = (x+1)^2 + (y+1)^2 + (z+1)^2=x^2 + y^2+z^2+2(x+y+z)+3=x^2+y^2+z^2+3$
Vì x,y,z $\epsilon [-1;1]$
$=> a^2 + b^2 + c^2 \leq \left | x \right |+\left | y \right |+\left | z \right |+3$
Trong 3 số x,y,z có 2 số cùng không âm hoặc không dương, không mất tính tổng quát đó là x và y,
$=>\left | x \right |+\left | y \right | = \left | x+y \right |$
$=> a^2 + b^2 + c^2 \leq \left | x+y \right |+\left | z \right |+3 = \left | -z \right |+\left | z \right |+3=2\left | z \right |+3\leq 5$
Vậy $a^2+b^2+c^2 \leq 5$
Dấu bằng xảy ra khi a=0;b=1;c=2 và các hoán vị
$=> a^2 + b^2 + c^2 = (x+1)^2 + (y+1)^2 + (z+1)^2=x^2 + y^2+z^2+2(x+y+z)+3=x^2+y^2+z^2+3$
Vì x,y,z $\epsilon [-1;1]$
$=> a^2 + b^2 + c^2 \leq \left | x \right |+\left | y \right |+\left | z \right |+3$
Trong 3 số x,y,z có 2 số cùng không âm hoặc không dương, không mất tính tổng quát đó là x và y,
$=>\left | x \right |+\left | y \right | = \left | x+y \right |$
$=> a^2 + b^2 + c^2 \leq \left | x+y \right |+\left | z \right |+3 = \left | -z \right |+\left | z \right |+3=2\left | z \right |+3\leq 5$
Vậy $a^2+b^2+c^2 \leq 5$
Dấu bằng xảy ra khi a=0;b=1;c=2 và các hoán vị
- no matter what, coolcoolcool1997, Sagittarius912 và 1 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 15-12-2012 - 21:22
coolcoolcool1997
-
- Thành viên
-
- 48 Bài viết
Binh nhất
Thank. Cách của mi`k đây, chả bik giả sử vậy có đúng hok nhỉ???
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq (a+b)^{2}+c^{2}=(3-c)^{2}+c^{2}=2c^{2}-6c+9$
Ta đi chứng minh $2c^{2}-6c+9\leq 5$
$\Leftrightarrow 2c^{2}-6c+4\leq 0 \Leftrightarrow c^{2}-3c+2\leq 0 \Leftrightarrow (c-2)(c-1)\leq 0$
Đến đây chỉ việc giả sử c = max(a,b,c) là được, vì khi đó $1\leq c\leq 2$ dẫn tới $(c-2)(c-1)\leq 0$ đúng.
Dấu bằng xảy ra khi a=0,b=1,c=2 và các hoán vị.
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq (a+b)^{2}+c^{2}=(3-c)^{2}+c^{2}=2c^{2}-6c+9$
Ta đi chứng minh $2c^{2}-6c+9\leq 5$
$\Leftrightarrow 2c^{2}-6c+4\leq 0 \Leftrightarrow c^{2}-3c+2\leq 0 \Leftrightarrow (c-2)(c-1)\leq 0$
Đến đây chỉ việc giả sử c = max(a,b,c) là được, vì khi đó $1\leq c\leq 2$ dẫn tới $(c-2)(c-1)\leq 0$ đúng.
Dấu bằng xảy ra khi a=0,b=1,c=2 và các hoán vị.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi coolcoolcool1997: 15-12-2012 - 21:22
- yeutoan11 và Sagittarius912 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
