Chủ đề này có 7 trả lời

[CD13]

KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

TỈNH CÀ MAU

Câu 1: Xuân có k tiền giấy loại 20 nghìn đồng và t tiền giấy loại 50 nghìn đồng. Hạ có p tiền giấy loại 20 nghìn đồng và q tiền giấy loại 50 nghìn đồng. Biết: k + t = p + q, k = 3t, p = 4q và số tiền của Xuân và Hạ chênh lệch nhau không quá 50 nghìn đồng. Tìm số tiền của mỗi người.

Câu 2: Có 2 thầy giáo và n học sinh xếp thành hàng ngang (n > 0). Kí hiệu S' là số cách sắp xếp hàng ngang sao cho có đúng một học sinh đứng giữa hai thầy giáo; S" là số cách sắp xếp hàng ngang sao cho hai thầy giáo đứng cạnh nhau và S"' là số cách sắp xếp sao cho giữa hai thầy giáo có ít nhất một học sinh. Tìm các số n và k (k nguyên dương) sao cho S', S", (S"' + k) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

Câu 3: Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn x + y + z = 0. Chứng minh rằng:
$\sqrt{1+3^{x+1}}+\sqrt{\frac{3^x}{3^y+3^z}}+\sqrt{1+3^{y+1}}+\sqrt{\frac{3^y}{3^z+3^x}}+\sqrt{1+3^{z+1}}+\sqrt{\frac{3^z}{3^x+3^y}}>8$

Câu 4: Cho tam giác ABC cố định, có BC = a, AC = b, AB = c, $a \le b \le c$ và hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2=c^2\\y^2+z^2=a^2
\\z^2+x^2=b^2

\end{matrix}\right.(1)$
Biết hệ $(1)$ có đúng 8 nghiệm. Hãy:
1/ Xác định tính chất (vuông, nhọn, tù) của tam giác ABC.
2/ Dựng điểm D trong không gian sao cho DA = m, DB = n, DC = p với bộ ba số dương (m, n, p) là một nghiệm của hệ phương trình $(1)$.

Câu 5: Cho đường tròn (O) tâm O, bán kính R. Lấy hai điểm $A_0,B_0$ thuộc đường trìn (O) sao cho đi từ tia $OA_0$ đến tia $OB_0$ cùng chiều quay của kim đồng hồ và $A_0B_0=R$. Gọi $A_1$ là trung điểm của đoạn $A_0B_0$. Trên đường tròn (O) lấy các dãy điểm $B_1,B_2,B_3,...B_n,...$ theo quy luật: với mọi số nguyên dương n, các tia $OB_0,OB_1,OB_2,...OB_n,...$ được sắp xếp theo thứ tự đi từ tia $OB_{n-1}$ đến tia $OB_n$ cùng chiều quay của kim đồng hồ và $A_1B_1=A_2B_2=...=A_nB_n=...=R$ trong đó $A_n$ là trung điểm của đoạn $A_{n-1}B_{n-1}$,
Đặt $a_n=OA_n$, số đo $\widehat{OA_nB_n}=\alpha _n$
1/ Với mọi số tự nhiên khác không n. Chứng minh rằng $a_n^2=\frac{2^n+1}{2^{n+1}}R^2$ và chứng minh dãy số $\frac{\alpha_n}{a_n}$ là dãy tăng.
2/ Tính $\underset{n \to +\infty }{lim}\cos \alpha_n$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 16-12-2012 - 14:39

[mathprovn]

Câu 1:
Theo đề, số tiền của Xuân 20k + 50t (nghìn đồng); số tiền của Hạ: 20p + 50q (nghìn đồng)
Từ giả thiết: t + k = p + q; k = 3t; p =4q ta suy ra: 4t = 5q; 16k = 15p và q chia hết cho 4. Từ đó:
$|20k + 50t - (20p + 50q)|\leqslant 50$
|$\frac{15}{8}p + 5t - 2p - 5q|\leqslant 5$
$|t - \frac{1}{8}| \leqslant 5$
$|8t - p| \leqslant 40$
$|10q - 4q|\leqslant 40$
$|q| \leqslant 6$
Vì q chia hêt cho 4 và q nguyên dương nên q = 4
Từ đó ta được t = 5; k = 15; p = 16
Vậy số tiền của Xuân là 550 nghìn đồng.
Số tiền của Hạ là 520 nghìn đồng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathprovn: 17-12-2012 - 09:48

[hoangtrong2305]

Câu 2: Có 2 thầy giáo và n học sinh xếp thành hàng ngang (n > 0). Kí hiệu S' là số cách sắp xếp hàng ngang sao cho có đúng một học sinh đứng giữa hai thầy giáo; S" là số cách sắp xếp hàng ngang sao cho hai thầy giáo đứng cạnh nhau và S"' là số cách sắp xếp sao cho giữa hai thầy giáo có ít nhất một học sinh. Tìm các số n và k (k nguyên dương) sao cho S', S", (S"' + k) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

Có tổng cộng $n+2$ vị trí

S' là số cách sắp xếp hàng ngang sao cho có đúng một học sinh đứng giữa hai thầy giáo

- Chọn 2 vị trí sao cho giữa 2 vị trí này có đúng 1 vị trí trống: $n$ cách

- Sắp xếp 2 thầy vào 2 vị trí đã chọn: $2$ cách

- Sắp xếp chỗ cho các học sinh còn lại: $n!$ cách

Vậy $S'=2n.n!$

Tương tự, dễ tính $S''=2(n+1).n!$ và $S'''=(n+2)!-2(n+1).n!$

Ta có: $S', S", (S"' + k)$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên $\frac{S'+S'''+k}{2}=S''$

$\Leftrightarrow \frac{2n.n!+(n+2)!-2(n+1).n!+k}{2}=2(n+1).n!$

$\Leftrightarrow n!(n^{2}-n-4)+k=0$ (*)

Có $n!;k>0$ nên để $(*)$ có nghiệm thì $(n^{2}-n-4)<0$ với $n$ nguyên dương

$\Rightarrow \begin{bmatrix} n=1\\ n=2 \end{bmatrix}$

Lần lượt thay từng giá trị $n$, ta được $k=4$

[duongtoi]

Bài 2:
- Số cách xếp 2 gv với nhau là 2 cách
Số các xếp 1 hs đứng giữa hai thầy giáo là: $n$ cách
Coi nhóm 2 thầy giáo+1hs xen kẽ là một nhóm.
Số cách xếp hàng là số cách hoán vị n vị trí: $n!$ cách
Vậy trong TH này có $S'=2n.n!$ cách.
- Số cách xếp hai giáo viên cạnh nhau là 2 cách
Coi nhóm 2 gv là một.
Số cách xếp hàng là số cách hoán vị $n+1$ vị trí.
Vậy $S''=2(n+1)!$
- Số cách xếp bất kỳ 2gv+$n$ hs là $(n+2)!$
Do vậy, số cách xếp sao cho giữa 2 gv có ít nhất 1 hs là $S'''=(n+2)!-2(n+1)!=n(n+1)!$

Ta có , $S',S'',S'''+k$ là một cấp số cộng nên
$S''-S'=S'''+k-S''$
Ta có $S'''+k-S'=S''-S'$
$(n-2)(n+1)!+k=2n!$
$\Leftrightarrow n!(n^2-n-4)+k=0$
Mặt khác, $n,k\in \mathbb{Z}^*$ nên $n^2-n-4<0$
Suy ra, $n=1;2$.
Với $n=1$ Ta có $S'=2.1.1!=2$; $S''=2.(1+1)!=4$; $S'''=1(1+1)!=2$ và $k=4$.
Với $n=2$ ta có $S'=2.2.2!=8$;$S''=2(2+1)!=12$;$S'''=2.(2+1)!=12$ và $k=4$.

[duongtoi]

Bài 4:
1) Ta có $a^2+b^2=x^2+y^2+2z^2=c^2+2z^2$
Do hệ phương trình có đúng 8 nghiệm nên $z\ne 0$.
Vậy $c^2<a^2+b^2$. Tức là, tam giác $ABC$ nhọn.

[duongtoi]

Bài 4:
2) Ta có $(m;n;p)$ là nghiệm nên
$\begin{cases} m^2+n^2=c^2\\ n^2+p^2=b^2\\ p^2+m^2=a^2\\ \end{cases}$
Tức là, các tam giác $DAB, DAC,DBC$ là các tam giác vuông tại $D$.
Cách dựng: Dựng 3 mặt cầu có đường kính lần lượt là $BC, AC, AB$.
3 mặt cầu này cắt nhau tại điểm $D$ cần tìm.

[CD13]

Câu BĐT:

Đặt $3^xa>0,3^y=b>0,3^z=c>0$. Khi đó BĐT cần chứng minh được viết lại:

Chứng minh: $\sum{\sqrt{1+3a}}+\sum{\sqrt{\frac{a}{b+c}}}>8$ với $a.b.c=1$
Ta có:

$\sum{\sqrt{1+3a}}=\sum{\sqrt{1+a+a+a}}\\ \ge \sum{(2\sqrt[8]{a^3})}\ge 6\sqrt[8]{abc}=6$

và:

$\sum{\sqrt{\frac{a}{b+c}}}=\sum\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}>\sum \frac{2a}{a+b+c}=2$

Từ 2 điều trên suy ra điều phải chứng minh.

[bachhammer]

Thấy bài cuối cùng chưa có ai giải nên xin được giải luôn (tình cờ xem đề Cà Mau phát hiện bài này hay): a) Ta có thể chứng minh bằng quy nạp để tính $a_{n}$ bằng công thức đường trung tuyến: $a_{n}^{2}=OA_{n}^{2}=\frac{2OA_{n-1}^{2}+2OB_{n-1}^{2}-A_{n-1}B_{n-1}^{2}}{4}=\frac{2.\frac{2^{n-1}+1}{2^{n}}R^{2}+R^{2}}{4}=\frac{2^{n}+1}{2^{n+1}}R^{2}$. Còn để chứng minh dãy gì gì đó tăng thì ta dựa vào việc $a_{n}$ là dãy giảm và đễ chứng minh dãy $\alpha_{n}$ tăng ta sẽ chứng minh dãy $cos\alpha_{n}$ giảm để suy ra dãy đó tăng (do hàm cosx nghịch biến trong khoảng 0-90) với chú ý $cos\alpha_{n}=\frac{2R}{OA_{n-1}}$. Khi đó ta có đpcm.

b) Sau khi đã tìm được công thức tổng quát của dãy $cos\alpha_{n}$ ta dễ dàng suy ra giới hạn...