Chủ đề này có 1 trả lời

[faraanh]

Biết tổng các hệ số bậc chẵn trong khai triển $(1+x)^n$ là 512. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển $(ax+x^{\frac{1}{4}})^n$

[vo van duc]

Trường hợp 1: n là số chẵn

Khai triển: $(1+x)^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}$

Tổng hệ số bậc chẵn của x là: $C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+...+C_{n}^{n}=512$

Ta có:

$(1+1)^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}$

$(1-1)^{n}=C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-...+C_{n}^{n}$

Cộng vế theo vế ta có:

$2^{n}=2(C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+...+C_{n}^{n})=2.512=1024$

Suy ra: $n=8$

Với $n=8$, ta có:

$(ax+x^{\frac{1}{4}})^{8}=\sum_{k=0}^{8}C_{8}^{k}(ax)^{k}(x^{\frac{1}{4}})^{8-k}=\sum_{k=0}^{8}C_{8}^{k}a^{k}x^{\frac{3k+8}{4}}$

Không có giá trị nguyên không âm nào của k để $\frac{3k+8}{4}=0$ nên trong khai triển $(ax+x^{\frac{1}{4}})^{8}$ không có số hạng không chứa x.

Trường hợp 2: n là số lẻ

Khai triển: $(1+x)^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}$

Tổng hệ số bậc chẵn của x là: $C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+...+C_{n}^{n-1}=512$

Ta có:

$(1+1)^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}$

$(1-1)^{n}=C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-...+C_{n}^{n-1}-C_{n}^{n}$

Cộng vế theo vế ta có:

$2^{n}=2(C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+...+C_{n}^{n-1})=2.512=1024$

Suy ra: $n=8$

Vô lý

Vậy kết luận: $n=8$ và khai triển $(ax+x^{\frac{1}{4}})^{8}$ không có số hạng không chứa x.