cho tam giác ABC thỏa mãn $b+c=\frac{a}{2}+\sqrt{3}{h}_{a}$. chứng minh rằng tam giác ABC đều
cho tam giác ABC thỏa mãn $b+c=\frac{a}{2}+\sqrt{3}{h}_{a}$. chứng minh rằng tam giác ABC đều
Bắt đầu bởi vanbo10, 18-12-2012 - 07:36
#1
Đã gửi 18-12-2012 - 07:37
vanbo10
-
- Thành viên
-
- 10 Bài viết
Binh nhì
cho tam giác ABC thỏa mãn $b+c=\frac{a}{2}+\sqrt{3}{h}_{a}$. chứng minh rằng tam giác ABC đều
- tranphong9296 yêu thích
#2
Đã gửi 22-12-2012 - 09:25
caovannct
-
- Thành viên
-
- 529 Bài viết
Thiếu úy
bài này ta có thể giải nhw sau:
đẳng thwcs đã cho tương đương với $2b+2c=a^2+2\sqrt{3}S$
=> $a^2+2\sqrt{3}S\leq a^2+b^2+a^2+c^2$
=> $2\sqrt{3}S\leq a^2+b^2+c^2$
Như vậy ta chứng minh bđt cuối nữa là xong.
Thật vậy ta có $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca=\frac{2S}{sinA}+\frac{2S}{sinB}+\frac{2S}{sinC}=2S(\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC})\geq 2S\frac{9}{sinA+sinB+sinC}$
Sử dụng bđt quen thuộc $sinA+sinB+sinC\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Như vậy ta chứng minh được bđt $a^2+b^2+c^2\geq 2\sqrt{3}S$ dấu "=" xảy ra khi chỉ khi tam giác ABC đều
đẳng thwcs đã cho tương đương với $2b+2c=a^2+2\sqrt{3}S$
=> $a^2+2\sqrt{3}S\leq a^2+b^2+a^2+c^2$
=> $2\sqrt{3}S\leq a^2+b^2+c^2$
Như vậy ta chứng minh bđt cuối nữa là xong.
Thật vậy ta có $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca=\frac{2S}{sinA}+\frac{2S}{sinB}+\frac{2S}{sinC}=2S(\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC})\geq 2S\frac{9}{sinA+sinB+sinC}$
Sử dụng bđt quen thuộc $sinA+sinB+sinC\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Như vậy ta chứng minh được bđt $a^2+b^2+c^2\geq 2\sqrt{3}S$ dấu "=" xảy ra khi chỉ khi tam giác ABC đều
- tran thanh binh dv class yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
