Chủ đề này có 4 trả lời

[malchik]

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R.
CMR nếu $AB^2 + BD^2 = 4R^2$ thì $AC$ vuông góc $BD$.

Mod:Công thức $\LaTeX$ kẹp giữa $$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Dang Do: 18-12-2012 - 15:07

[malchik]

Loay hoay mãi em cũng làm được rồi ạ. Em dùng bổ đề sau:
$AB^{2}-BC^{2}+CD^{2}-DA^{2} = 2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}$
Cao thủ nào có cách khác thì cho em thọ giáo với ạ.

[banhgaongonngon]

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R.
CMR nếu $AB^2 + BD^2 = 4R^2$ thì $AC$ vuông góc $BD$.

Vẽ đường kính $BOE$. Do $\widehat{BAE}=90^{0}$ nên ta có $AB^{2}+AE^{2}=BE^{2}=4R^{2}=AB^{2}+CD^{2}\rightarrow AE=CD$
$\rightarrow DE\parallel AC$
Ta có đpcm

[malchik]

Hay, cách giải của bác rất ngắn gọn!

[mrjackass]

Mình xin được đề xuất 1 cách giải khác
Trc hết, ta có bổ đề: $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn (O;R) thì a=sinA.2R (phần CM khá dễ nên dành cho các bạn)
Áp dụng vào bài toán trên: Đặt $\widehat{ACB}$=x, $\widehat{CBD}$=y. Theo bổ đề ta có:
$AB^{2}+CD^{2}=4R^{2}.sin^{2}x+4R^{2}.sin^{2}y=4R^{2}.(sin^{2}x+sin^{2}y)=4R^{2}$
=> $sin^{2}x+sin^{2}y=1$ => $sin y = cos x$ => $widehat{ACB}+widehat{CBD}=90$ => đpcm