CMR $xy+yz+xz\geq \frac{-1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caothuprofifa: 19-12-2012 - 09:43
CMR $xy+yz+xz\geq \frac{-1}{2}$
Bắt đầu bởi caothuprofifa, 19-12-2012 - 09:38
#1
Đã gửi 19-12-2012 - 09:38
caothuprofifa
-
- Thành viên
-
- 21 Bài viết
Binh nhất
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$
CMR $xy+yz+xz\geq \frac{-1}{2}$
CMR $xy+yz+xz\geq \frac{-1}{2}$
#2
Đã gửi 19-12-2012 - 10:41
duongtoi
-
- Thành viên
-
- 747 Bài viết
Thiếu úy
Luôn tồn tại một cặp (giả sử $x;y$) sao cho $xy\ge0$.
Ta có $(x+y-z)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge2|xz|+2|yz|-2xy\ge 2|xz+yz|-2xy$
Suy ra $|xz+yz|\le\frac{1}{2}+xy$.
Tức là, $-\frac{1}{2}-xy\le xz+yz\le\frac{1}{2}+xy$
Suy ra, $xy+yz+zx\ge-\frac{1}{2}$
Ta có $(x+y-z)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge2|xz|+2|yz|-2xy\ge 2|xz+yz|-2xy$
Suy ra $|xz+yz|\le\frac{1}{2}+xy$.
Tức là, $-\frac{1}{2}-xy\le xz+yz\le\frac{1}{2}+xy$
Suy ra, $xy+yz+zx\ge-\frac{1}{2}$
Facebook: https://www.facebook...toi?ref=tn_tnmn or https://www.facebook...GioiCungTopper/
Website: http://topper.vn/
Mail: [email protected]
#3
Đã gửi 19-12-2012 - 11:03
IloveMaths
-
- Thành viên
-
- 171 Bài viết
Trung sĩ
$xy+yz+zx\geqslant \frac{-1}{2}\Leftrightarrow 2(xy+yz+zx)+1\geqslant 0\Leftrightarrow 2(xy+yz+zx)+x^2+y^2+z^2\geqslant 0\Leftrightarrow (x+y+z)^2\geqslant 0$
Dịp may chỉ mách bảo một trí tuệ chuyên cần
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
