Chủ đề này có 1 trả lời

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Bài toán:Phạm Kim Hùng
Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Chứng minh.
$$\frac{a+2b}{c+2b}+\frac{b+2c}{a+2c}+\frac{c+2a}{b+2a}\geq 3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 20-12-2012 - 16:26

[anhxuanfarastar]

Bài toán:Phạm Kim Hùng
Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Chứng minh.
$$\frac{a+2b}{c+2b}+\frac{b+2c}{a+2c}+\frac{c+2a}{b+2a}\geq 3$$

Nguyên văn của BDT trên là $\frac{2a+b}{2a+c}+\frac{2b+c}{2b+a}+\frac{2c+a}{2c+b}\geq 3$
Khi đó ta có:
$\frac{2a+b}{2a+c}-\frac{1}{2}=\frac{2a+2b-c}{2(2a+c)}$
$\frac{2b+c}{2b+a}-\frac{1}{2}=\frac{2b+2c-a}{2(2b+a)}$
$\frac{2c+a}{2c+b}-\frac{1}{2}=\frac{2b+2c-b}{2(2c+b)}$
i. Xét cả ba mẫu số đều không âm thì cộng theo vế những điều trên ta có bdt hiên nhiên đúng theo Cauchy-Schwarz.
ii. Xét có ít nhất một mẫu bị âm. Giả sử $a>2b+2c$ suy ra $2b+a<(a-2c)+a=2a-2c<2a+c$
suy ra $\frac{2a+b}{2a+c}+\frac{2b+c}{2b+a}\geq \frac{2a+b}{2a+c}+\frac{2b+c}{2a+c}=1+\frac{3b}{2a+c}>1$
Mặt khác lại có $\frac{2c+a}{2c+b}>\frac{2c+(2b+2c)}{2c+b}=2$
Kết hợp các điều trên ta được dpcm