7 replies to this topic

[yellow]

Cho hai đường tròn đồng tâm $O$ có bán kính $R$ và $r$ ($R>r$). $A$ và $M$ là $2$ điểm thuộc đường tròn nhỏ, qua $M$ vẽ dây $BC$ của đường tròn lớn sao cho $BC\perp AM$.
a) Tính $MA^2+MB^2+MC^2$ theo $R$ và $r$.
b) Chứng minh: trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$ cố định.

[BlackSelena]

$BC \cap (O;r) = D$
Hạ $OI \perp MD$. Dễ dàng chứng minh: $A,O,D:thẳng hàng$
Không mất tính tổng quát, giả sử B,M,I,D,C thẳng hàng theo thứ tự đó
Lần lượt theo Pythagore, ta có:
$MA^2+MB^2+MC^2=4OI^2+(IB-IM)^2+(MI+IC)^2$
$=4OI^2)+IB^2-2BI.IM+IM^2+IM^2+2IM.IC+IC^2$
$=2(r^2+R^2):const$
b, Gọi $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$, mà $AI$ là trung tuyến.
Vậy với cách xác định điểm $G$ như trên, $G$ cũng là trọng tâm $\triangle AMD$
$\Rightarrow \frac{MG}{MO} = \frac{2}{3}$
Mà $O:const \Rightarrow G:const$

Edited by BlackSelena, 20-12-2012 - 21:06.

[yellow]

$BC \cap (O;r) = D$
Hạ $OI \perp MD$. Dễ dàng chứng minh: $A,O,D:thẳng hàng$
Không mất tính tổng quát, giả sử B,M,I,D,C thẳng hàng theo thứ tự đó
Lần lượt theo Pythagore, ta có:
$MA^2+MB^2+MC^2=4OI^2+(IB-IM)^2+(MI+IC)^2$
$=4OI^2)+IB^2-2BI.IM+IM^2+IM^2+2IM.IC+IC^2$
$=2(r^2+R^2):const$
b, Gọi $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$, mà $AI$ là trung tuyến.
Vậy với cách xác định điểm $G$ như trên, $G$ cũng là trọng tâm $\triangle AMD$
$\Rightarrow \frac{MG}{MO} = \frac{2}{3}$
Mà $O:const \Rightarrow G:const$

Làm thế nào để c/m $A, O, D$ thằng hàng anh. Em chứng minh mà chẳng biết đúng sai thế nào nữa!

[BlackSelena]

Làm thế nào để c/m $A, O, D$ thằng hàng anh. Em chứng minh mà chẳng biết đúng sai thế nào nữa!

$\angle AMD = 90^\circ$ mà em

[pnhungqt]

Do $\angle AMD =90^{\circ}$ nên AD là đường kính của đường tròn O $\Rightarrow O\in AD$. Vậy $A,O,D$ thẳng hàng

[yellow]

$\angle AMD = 90^\circ$ mà em

Anh ơi, ở đây ta nói $G$ cố định, tức là $G$ cố định nhưng di động trên một đường tròn phải không anh?

[BlackSelena]

Anh ơi, ở đây ta nói $G$ cố định, tức là $G$ cố định nhưng di động trên một đường tròn phải không anh?

Không em à, nó là 1 điểm cố định rồi. Vì vị trí điểm $A,M,D$ đều cố định

[yellow]

Không em à, nó là 1 điểm cố định rồi. Vì vị trí điểm $A,M,D$ đều cố định

Vậy nếu đề bài cho điểm ...,... thuộc đường tròn mà không nói cố định hay di động thi ta hiểu đó là cố định hả anh? Để kết luận G cố định thì cuối cùng có cần nói $A, M, D$ cố định nữa không anh, hay chỉ cần $O$ là đủ.