Chủ đề này có 1 trả lời

[Be Strong]

CMR $\forall a,b,c\geq 1$ ta có:

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq \frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^3}} +\frac{1}{1+\sqrt[4]{bc^3}}+\frac{1}{1+\sqrt[4]{ca^3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Be Strong: 21-12-2012 - 12:03

[tkvn97]

CMR $\forall a,b,c\geq 1$ ta có:

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq \frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^3}} +\frac{1}{1+\sqrt[4]{bc^3}}+\frac{1}{1+\sqrt[4]{ca^3}}$

Bổ đề : Với mọi $a,b\geq 1$ ta luôn có : $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$
Trở lại bài toán .
Ta có : $\frac{1}{1+a}+\frac{3}{1+b}=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{2}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}+\frac{2}{1+b}\geq \frac{4}
{1+\sqrt[4]{ab^{3}}}$

Chứng minh tương tự . Ta có điều phải chứng minh $\blacksquare$

Mở rộng :
Bài toán : Cho $a,b,c\geq 1$. Chứng minh rắng
1) $\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc}$
$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq \sum \frac{1}{1+\sqrt[5]{ab^{4}}}$