Chủ đề này có 3 trả lời

[thpthang]

Cho ánh xạ $f:X \to Y,$ với $A,B \subset X,$ ta có

$f\left( {A \cup B} \right) = f\left( A \right) \cup f\left( B \right)$

$f\left( {A \cap B} \right) \subset f\left( A \right) \cap f\left( B \right)$

$f\left( {A\backslash B} \right) \supset f\left( A \right)\backslash f\left( B \right)$


Giả sử $A,B \subset Y,$ ta có

${f^{ - 1}}\left( {A \cup B} \right) = {f^{ - 1}}\left( A \right) \cup {f^{ - 1}}\left( B \right)$

${f^{ - 1}}\left( {A \cap B} \right) = {f^{ - 1}}\left( A \right) \cap {f^{ - 1}}\left( B \right)$

${f^{ - 1}}\left( {A\backslash B} \right) = {f^{ - 1}}\left( A \right)\backslash {f^{ - 1}}\left( B \right)$

$f\left( {{f^{ - 1}}\left( A \right)} \right) = A \cap f\left( X \right)$

Các bạn giúp mình chứng minh chi tiết nha. Hoặc giải thích cũng được. Mình hiểu nhưng vẫn còn nhiều chỗ thấy mập mờ quá. Nếu chứng minh được thì quá tốt rồi. Thanks các bạn trước!

[funcalys]

1.$f(A\cup B)=\left \{ y\in Y:f(x)=y, x\in A \vee B\right \}=f(A)\cup f(B)$
2.$f(A\cap B)=\left \{ y\in Y:f(x)=y, x\in A \wedge B\right \}=f(A -(A-A\cap B))\cap f(B -(B-A\cap B))\subset f(A)\cap f(B)$
3.$f(x)\in f(A)-f(B)\Rightarrow f(x) \in f(A-B)$, để chứng minh tồn tại bao hàm thức chặt chỉ cần chỉ ra 1 phản ví dụ.
4.$f^{-1}(A\cup B)=\left \{ x\in X: f(x)\in A \vee B\right \}=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$
5.$x\in f^{-1}(A-B)\Leftrightarrow f(x)\in A \wedge f(x)\notin B\Leftrightarrow x\in f^{-1}(A)\wedge x\notin f^{-1}(B)\Leftrightarrow x\in f^{-1}(A)-f^{-1}(B)$
6.$f(x)\in f(f^{-1}(A))\Leftrightarrow x\in f^{-1}(A)\cap X \Leftrightarrow f(x)\in A \cap f(X)$

[thpthang]

Ánh xạ

Cho ánh xạ $f:X \to Y,$ với $A,B \subset X,$ ta có

$f\left( {A \cup B} \right) = f\left( A \right) \cup f\left( B \right)$

$f\left( {A \cap B} \right) \subset f\left( A \right) \cap f\left( B \right)$

$f\left( {A\backslash B} \right) \supset f\left( A \right)\backslash f\left( B \right)$

Chứng minh

a)

$y \in f\left( {A \cup B} \right) \Leftrightarrow \exists x \in A \cup B:f\left( x \right) = y \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
\exists x \in A:f\left( x \right) = y \\
\exists x \in B:f\left( x \right) = y \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow y \in f\left( A \right) \cup f\left( B \right)$

b)

$y \in f\left( {A \cap B} \right) \Rightarrow \exists x \in A \cap B:f\left( x \right) = y \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\exists x \in A:f\left( x \right) = y \\
\exists x \in B:f\left( x \right) = y \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
y \in f\left( A \right) \\
y \in f\left( B \right) \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow y \in f\left( A \right) \cap f\left( B \right)$

Xét ánh xạ $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_ + ^*{\text{ }},{\text{ }}y = f\left( x \right) = {x^2},{\text{ }}A = \left\{ 1 \right\},{\text{ }}B = \left\{ { - 1} \right\},$ ta có

$f\left( A \right) = \left\{ 1 \right\},{\text{ }}f\left( B \right) = \left\{ 1 \right\} \Rightarrow 1 \in f\left( A \right) \cap f\left( B \right)$ nhưng $1 \notin f\left( {A \cap B} \right) = f\left( \emptyset \right)$

c)

$y \in f\left( A \right)\backslash f\left( B \right) \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
y \in f\left( A \right) \\
y \notin f\left( B \right) \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\exists x \in A:f\left( x \right) = y \in f\left( A \right) \\
\exists x \in B:f\left( x \right) = y \in f\left( B \right) \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \exists x \in A\backslash B:f\left( x \right) = y \in f\left( {A\backslash B} \right)$

Xét ánh xạ $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_ + ^*{\text{ }},{\text{ }}y = f\left( x \right) = {x^2},{\text{ }}A = \left\{ 1 \right\},{\text{ }}B = \left\{ { - 1} \right\},$ ta có

$f\left( A \right) = \left\{ 1 \right\},{\text{ }}f\left( B \right) = \left\{ 1 \right\} \Rightarrow 1 \in f\left( {A\backslash B} \right) = f\left( A \right)$ nhưng $1 \notin f\left( A \right)\backslash f\left( B \right) = \emptyset $

[thpthang]

Ký hiệu không tồn tại mình tìm không có. Ở câu c) đấy các bạn.