Chủ đề này có 7 trả lời

[kunkute]

Cho abc=1 với a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:$$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 22-12-2012 - 07:40

[tramyvodoi]

cho abc=1 với a,b,c là các số dương.Cm:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}$

Không mất tính tổng quát, giả sữ $a\geq b\geq c$
Khi đó, ta được 2 dãy sau:
$\left\{\begin{matrix} a\geq b\geq c & \\ a^{3}\geq b^{3}\geq c^{3} & \end{matrix}\right.$
Áp dụng bđt chebyshev:
$3(a.a^{2}+b.b^{2}+c.c^{2})\geq (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3\sqrt[3]{abc}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 21-12-2012 - 23:11

[hoangkkk]

Đặt $x=\ln a,y=\ln b,z=\ln c$, ta có $a=e^x,b=e^y,c=e^z$.
Từ giả thiết $abc=1$ ta suy ra $x+y+z=0$.
Viết bất đẳng thức cần chứng minh lại thành $\sum \left ( e^{3x}-e^{2x} \right )\geq 0$ hay $f(x)+f(y)+f(z) \geq 0$.
Xét hàm $h(t)=e^{3t}-e^{2t}-t$ với $t \in \mathbb{R}$.
Ta có : $h'(t)=3e^{t}-2e^{t}-1$, $h'(t)=0 \Leftrightarrow t=0$
Khảo sát hàm $h(t)$ ta được $\min h(t)=0$, đạt được tại $t=0$. Như vậy $e^{3t}-e^2{t} \geq t$, tương đương với $f(t) \geq t$.
Từ trên suy ra $f(x)+f(y)+f(z) \geq x+y+z=0$ (đpcm)

[caovannct]

Bìa này có thể sử dụng bđt phụ: $(\sum a)\sum a^2\leq 3\sum a^3$
Kết hợp với BĐT AM - GM và giả thiết abc =1 là có ngay điều cần chứng minh

[banhgaongonngon]

Cho abc=1 với a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:$$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}$$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có

$\left\{\begin{matrix} a^{3}+a^{3}+1\geqslant 3a^{2}\\ b^{3}+b^{3}+1\geqslant 3b^{2} \\ c^{3}+c^{3}+1\geqslant 3c^{2} \end{matrix}\right.$

Từ đó suy ra

$2.\sum a^{3}+3\geqslant 3\sum a^{2}$

Mặt khác, lại theo bất đẳng thức $AM-GM$ thì

$\sum a^{3}\geqslant 3\sqrt[3]{\prod a^{3}}=3$ (do $\prod a=1$)

Do đó

$3\sum a^{3}\geqslant 2\sum a^{3}+3\geqslant 3\sum a^{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

[Mai Xuan Son]

Cho abc=1 với a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:$$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}$$

Ta có:
$a^3-a^2+1-a=a^2(a-1)-(a-1)=(a-1)^2.(a+1)\geq 0$
hay
$a^3-a^2\geq a-1$
$b^3-b^2\geq b-1$
$c^3-c^2\geq c-1$
Cộng theo vế cùng $AM-GM$ $a+b+c\geq 3$
có ngay đpcm

[Mai Xuan Son]

Cho abc=1 với a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:$$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}$$

Cách khác,từ giả thiết suy ra $\ln a+\ln b+\ln c=0$
Cần chứng minh
$a^3-a^2\geq \ln a$
Xét $f(x)=x^3-x^2-\ln x$ với $x> 0$
$f'(x)=\frac{(x-1)(3x^2+x+1)}{x}$
hay $f'(x)=0\Leftrightarrow x=1$
do đó $\min f(x)=0 \Leftrightarrow x=1$
Do đó
$x^3-x^2\geq \ln x$
Thiết lập với $a,b,c$ cộng theo vế ta có đpcm

[Laser Angry Bird]

Cho abc=1 với a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:$$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}$$

bài toán này có thể tổng quát thành:
Cho a,b,c là các số dương thoã mãn $\prod_{i=1}^{n}a_{i}= 1$( hay $\sum_{i=1}^{n}a_{i}= n$ cũng được).CMR: $\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{m}\leqslant \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{m+1}$ (với m là số tự nhiên).