2 replies to this topic

[Poseidont]

Cho a,b,c là các cạnh của tam giác. Chứng ming rằng
$a^2+3b^2+4c^2\geq 4\sqrt{19}. S_{\triangle ABC}$

[dark templar]

Cho a,b,c là các cạnh của tam giác. Chứng ming rằng
$a^2+3b^2+4c^2\geq 4\sqrt{19}. S_{\triangle ABC}$

1 cách tổng quát,ta có:
Tổng quát:
$$xa^2+yb^2+zc^2 \ge 4\sqrt{xy+yz+zx}S$$
Với $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{x+y};\sqrt{y+z};\sqrt{z+x}$ là độ dài 3 cạnh tam giác.

Edited by dark templar, 22-12-2012 - 10:51.

[Poseidont]

$x,y,z$ dương là được thôi anh à, lời giải tổng quát ( sao anh không để các em nó tự tìm tòi )
Ta có
$c^2=a^2+b^2-2ab.cosC$
$S=\frac{1}{2}ab.sinC$
BĐT$\Leftrightarrow a^2(x+z)+b^2(y+z)\geq 2ab(\sqrt{xy+yz+xz}.sicC+z.cosC)$
Mặt khác
$(\sqrt{xy+yz+xz}.sicC+z.cosC)^2\leq (sinC^2+cosC^2)(xy+yz+xz+z^2)=(z+x)(z+y)$
Áp dụng tiếp AM-GM ta có điều phải chứng minh