2. C/m: $(-1)^{k}C_{k}^{k}C_{n}^{k}+(-1)^{k+1}C_{k+1}^{k}C_{n}^{k+1}+...+
(-1)^{n}C_{n}^{k}C_{n}^{n}=0$
Theo quy tắc tập con của tập con thì
$$\binom{n}{m}\binom{m}{k}=\binom{n}{k}\binom{n-k}{m-k}$$
Do đó:
$\sum_{j=0}^{n-k}(-1)^{k+j}\binom{k+j}{k}\binom{n}{k+j}$
$=(-1)^{k}\sum_{j=0}^{n-k}(-1)^{j}\binom{n}{k}\binom{n-k}{k+j-k}=(-1)^{k}\binom{n}{k}\sum_{j=0}^{n-k}(-1)^{j}\binom{n-k}{j}=0$
Bài 2:
$\sum_{j=k}^n (-1)^j{k+j\choose j}{n\choose j}=0$
Đề bài này sai! Lấy $n=k=1$ thì rõ!
Anh viết sai đề bài 2 của bạn nbngoc95,làm em tính cái tổng thấy khoai ơi là khoai
Nhưng thấy cái tổng của anh viết sai đề cũng hay hay,tính thử xem sao.
Ta đặt $S(n;k)=\sum_{j=k}^n (-1)^j{k+j\choose j}{n\choose j}=\sum_{j=k}^{n}(-1)^{j}\binom{k+j}{k}\binom{n}{j}$.
Theo sai phân từng phần với:
$\Delta f(j)=f(j+1)-f(j)=(-1)^{j+1}\binom{n-1}{j}-(-1)^{j}\binom{n-1}{j-1}=(-1)^{j+1}\binom{n}{j}$
$\Delta g(j)=g(j+1)-g(j)=\binom{k+j+1}{k}-\binom{k+j}{k}=\binom{k+j}{k-1}$
Suy ra:
$-S(n,k)=(-1)^{j}\binom{n-1}{j-1}\binom{k+j}{k}\Bigg|_{j=k}^{n+1}+\sum_{j=k}^{n}(-1)^{j}\binom{n-1}{j}\binom{k+j}{k-1}$
$=(-1)^{k+1}\binom{n-1}{k-1}\binom{2k}{k}-\sum_{j=k}^{n}(-1)^{j+1}\binom{n-1}{j}\binom{k+j}{j+1}$
Cứ tiếp tục sai phân như vậy,ta sẽ thu được:
$-S(n,k)=(-1)^{k}\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j}\binom{n-j}{k-1}\binom{2k}{k+j-1}$
Suy ra:
$S(n,k)=(-1)^{k+1}\sum_{j=1}^{k}(-1)^{j}\binom{n-j}{k-1}\binom{2k}{k+j-1}$
...Còn tiếp ....
Và có lẽ bài này cứ làm sai phân kiểu vòng vòng,chưa chắc ra kết quả
Có lẽ phải xài sự trợ giúp thôi $\to$ anh Thanh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 24-12-2012 - 11:43