Chủ đề này có 9 trả lời

[nbngoc95]

1. Cho: $S_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$
Tính: $P=S_{n}-C_{n}^{1}S_{n-1}+C_{n}^{2}S_{n-2}-...+(-1)^{n-1}C_{n}^{n-1}S_{1}$
2. C/m: $(-1)^{k}C_{k}^{k}C_{n}^{k}+(-1)^{k+1}C_{k+1}^{k}C_{n}^{k+1}+...+
(-1)^{n}C_{n}^{k}C_{n}^{n}=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nbngoc95: 23-12-2012 - 22:53

[VNSTaipro]

2. C/m: $(-1)^{k}C_{k}^{k}C_{n}^{k}+(-1)^{k+1}C_{k+1}^{k}C_{n}^{k+1}+...+
(-1)^{n}C_{k}^{n}C_{n}^{n}=0$

$(-1)^{k}C_{k}^{k}C_{n}^{k}$=> $n\geq k$
$(-1)^{n}C_{k}^{n}C_{n}^{n}$=> $k\geq n$
=>n=k

[hxthanh]

Trình bày lại đề bài cho rõ như sau:

1. Cho:
$H_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$
Tính: $P=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^kH_{n-k}{n\choose k}$
2. CMR:
$\sum_{j=k}^n (-1)^j{k+j\choose j}{n\choose j}=0$

Bài 1:
Ta có: $\left\{\begin{align*}&(-1)^k{n\choose k}=\Delta\left[(-1)^{k-1}{n-1\choose k-1}\right]\\ &\Delta\left(H_{n-k}\right)=-\dfrac{1}{n-k}\end{align*}\right.$
Áp dụng SPTP, ta có:

$\begin{eqnarray*}P&=&(-1)^{k-1}{n-1\choose k-1}H_{n-k}\Bigg|_{k=0}^n-\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k{n-1\choose k}\dfrac{-1}{n-k}\\&=&\dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k{n\choose k}\\&=&\dfrac{1}{n}\left((1-1)^n-(-1)^n\right)\\&=&\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}\end{eqnarray*}$

Bài 2:
$\sum_{j=k}^n (-1)^j{k+j\choose j}{n\choose j}=0$

Đề bài này sai! Lấy $n=k=1$ thì rõ!

[dark templar]

Trình bày lại đề bài cho rõ như sau:

Bài 1:
Ta có: $\left\{\begin{align*}&(-1)^k{n\choose k}=\Delta\left[(-1)^{k-1}{n-1\choose k-1}\right]\\ &\Delta\left(H_{n-k}\right)=-\dfrac{1}{n-k}\end{align*}\right.$
Áp dụng SPTP, ta có:

$\begin{eqnarray*}P&=&(-1)^{k-1}{n-1\choose k-1}H_{n-k}\Bigg|_{k=0}^n-\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k{n-1\choose k}\dfrac{-1}{n-k}\\&=&\dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k{n\choose k}\\&=&\dfrac{1}{n}\left((1-1)^n-(-1)^n\right)\\&=&\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}\end{eqnarray*}$

Một cách giải không xài sai phân từng phần
Bằng phương pháp đảo chiều+quy tắc hút,ta có:
$$\begin{eqnarray*}P&=&\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}H_{n-k}\binom{n}{k}\\&=&(-1)^{n}\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}H_{k}\binom{n}{k} \quad &\text{(Quy tắc đảo chiều)}\\&=&(-1)^{n}\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{k}\dfrac{(-1)^{k}}{j}\binom{n}{k}\\&=&(-1)^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=j}^{n}\dfrac{(-1)^{k}}{j}\binom{n}{k}\\&=&(-1)^{n+1}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=0}^{j-1}\dfrac{(-1)^{k}}{j}\binom{n}{k}\\&=&(-1)^{n+1}\sum_{j=1}^{n}\dfrac{(-1)^{j-1}}{j}\binom{n-1}{j-1}\\&=&\dfrac{(-1)^{n}}{n}\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j}\binom{n}{j} \quad &\text{(Quy tắc hút)}\\&=&\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}\end{eqnarray*}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 08-04-2013 - 20:46

[nbngoc95]

$(-1)^{k}C_{k}^{k}C_{n}^{k}$=> $n\geq k$
$(-1)^{n}C_{k}^{n}C_{n}^{n}$=> $k\geq n$
=>n=k

Hic. Mình ghi nhầm đề. Bạn giúp mình lại đc ko?

[nbngoc95]

Mấy cái QT Hút vs cả Sai phân em mới nghe lần đầu nên ko hiểu lắm. Anh/chị có thể làm theo cách đơn giản hơn đc ko? Bài 1 cô giáo em bảo là đặt nhân tử chung gì đó.

[dark templar]

Mấy cái QT Hút vs cả Sai phân em mới nghe lần đầu nên ko hiểu lắm. Anh/chị có thể làm theo cách đơn giản hơn đc ko? Bài 1 cô giáo em bảo là đặt nhân tử chung gì đó.

Quy tắc hút: $\binom{n}{k}=\dfrac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}$.
Bạn nên xem qua topic này .Theo ý kiến của mình thì đây là topic rất hay và khá đầy đủ các phương pháp tính tổng của anh Thanh.Công thức sai phân mà bạn thắc mắc cũng nằm trong topic đó,mình đã trích đến trang giải thích công thức sai phân cho bạn trong đường link rồi

[dark templar]

2. C/m: $(-1)^{k}C_{k}^{k}C_{n}^{k}+(-1)^{k+1}C_{k+1}^{k}C_{n}^{k+1}+...+
(-1)^{n}C_{n}^{k}C_{n}^{n}=0$

Theo quy tắc tập con của tập con thì
$$\binom{n}{m}\binom{m}{k}=\binom{n}{k}\binom{n-k}{m-k}$$
Do đó:
$\sum_{j=0}^{n-k}(-1)^{k+j}\binom{k+j}{k}\binom{n}{k+j}$
$=(-1)^{k}\sum_{j=0}^{n-k}(-1)^{j}\binom{n}{k}\binom{n-k}{k+j-k}=(-1)^{k}\binom{n}{k}\sum_{j=0}^{n-k}(-1)^{j}\binom{n-k}{j}=0$

Bài 2:
$\sum_{j=k}^n (-1)^j{k+j\choose j}{n\choose j}=0$

Đề bài này sai! Lấy $n=k=1$ thì rõ!

Anh viết sai đề bài 2 của bạn nbngoc95,làm em tính cái tổng thấy khoai ơi là khoai Nhưng thấy cái tổng của anh viết sai đề cũng hay hay,tính thử xem sao.
Ta đặt $S(n;k)=\sum_{j=k}^n (-1)^j{k+j\choose j}{n\choose j}=\sum_{j=k}^{n}(-1)^{j}\binom{k+j}{k}\binom{n}{j}$.
Theo sai phân từng phần với:
$\Delta f(j)=f(j+1)-f(j)=(-1)^{j+1}\binom{n-1}{j}-(-1)^{j}\binom{n-1}{j-1}=(-1)^{j+1}\binom{n}{j}$
$\Delta g(j)=g(j+1)-g(j)=\binom{k+j+1}{k}-\binom{k+j}{k}=\binom{k+j}{k-1}$
Suy ra:
$-S(n,k)=(-1)^{j}\binom{n-1}{j-1}\binom{k+j}{k}\Bigg|_{j=k}^{n+1}+\sum_{j=k}^{n}(-1)^{j}\binom{n-1}{j}\binom{k+j}{k-1}$
$=(-1)^{k+1}\binom{n-1}{k-1}\binom{2k}{k}-\sum_{j=k}^{n}(-1)^{j+1}\binom{n-1}{j}\binom{k+j}{j+1}$
Cứ tiếp tục sai phân như vậy,ta sẽ thu được:
$-S(n,k)=(-1)^{k}\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j}\binom{n-j}{k-1}\binom{2k}{k+j-1}$
Suy ra:
$S(n,k)=(-1)^{k+1}\sum_{j=1}^{k}(-1)^{j}\binom{n-j}{k-1}\binom{2k}{k+j-1}$
...Còn tiếp ....
Và có lẽ bài này cứ làm sai phân kiểu vòng vòng,chưa chắc ra kết quả Có lẽ phải xài sự trợ giúp thôi $\to$ anh Thanh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 24-12-2012 - 11:43

[hxthanh]

...

Bài 2:
$\sum_{j=k}^n (-1)^j{k+j\choose j}{n\choose j}=0$

Đề bài này sai! Lấy $n=k=1$ thì rõ!

Anh viết sai đề bài 2 của bạn nbngoc95,làm em tính cái tổng thấy khoai ơi là khoai Nhưng thấy cái tổng của anh viết sai đề cũng hay hay,tính thử xem sao.
...
...
Cứ tiếp tục sai phân như vậy,ta sẽ thu được:
$-S(n,k)=(-1)^{k}\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j}\binom{n-j}{k-1}\binom{2k}{k+j-1}$
Suy ra:
$S(n,k)=(-1)^{k+1}\sum_{j=1}^{k}(-1)^{j}\binom{n-j}{k-1}\binom{2k}{k+j-1}$
...Còn tiếp ....
Và có lẽ bài này cứ làm sai phân kiểu vòng vòng,chưa chắc ra kết quả Có lẽ phải xài sự trợ giúp thôi $\to$ anh Thanh.

Đề bài đó đúng là bế tắc toàn tập (kết quả ra hàm siêu đa hình (siêu bội) tên quốc tế là hypergeometric function)
Thế nhưng thay đổi một chút về khoảng lấy tổng ta có một bài toán đẹp sau:

Bài toán:
Chứng minh đẳng thức:

$\sum_{k=0}^n (-1)^k{m+k\choose k}{n\choose k}=(-1)^n{m\choose n}$
____________________
Mời em! dark templar

[dark templar]

Bài toán:
Chứng minh đẳng thức:

$\sum_{k=0}^n (-1)^k{m+k\choose k}{n\choose k}=(-1)^n{m\choose n}$
____________________
Mời em! dark templar

Muối mặt quá Cứ tưởng chơi đồng nhất,thôi thì ta giải theo cách bài ở trên,tức là sai phân liên tục vậy
Đặt $S(m,n)=\sum_{k=0}^n (-1)^k{m+k\choose k}{n\choose k}$
Theo SPTP với:
$\Delta f(k)=(-1)^{k+1}\binom{n-1}{k}-(-1)^{k}\binom{n-1}{k-1}=(-1)^{k+1}\binom{n}{k}$
$\Delta g(k)=\binom{m+k+1}{k+1}-\binom{m+k}{k}=\binom{m+k}{k+1}$
Ta có:
$-S(m;n)=(-1)^{k}\binom{n-1}{k-1}\binom{m+k}{k}\Bigg|_{k=0}^{n+1}+\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n-1}{k}\binom{m+k}{k+1}=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\binom{n-1}{k}\binom{m+k}{k+1}$
Cứ liên tiếp sai phân như thế thì ta sẽ có ngay :
$S(m,n)=(-1)^{n}\left[(-1)^{k}\binom{0}{k}\binom{m+k}{k+n} \right]_{k=0}=(-1)^{n}\binom{m}{n}$.

P.s:Còn bài mở rộng thì......