Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyenvinhthanh]

Cho $(P):y=x^2$ và đường thẳng $(D):y=mx+1$
1. Chứng minh rằng (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
2. Tìm m để $(x_A-1)^2+(x_B-1)^2$ đạt giá trị nhỏ nhất
3. Tìm m để độ dài đoạn AB ngắn nhất

[banhgaongonngon]

Cho $(P):y=x^2$ và đường thẳng $(D):y=mx+1$
1. Chứng minh rằng (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
2. Tìm m để $(x_A-1)^2+(x_B-1)^2$ đạt giá trị nhỏ nhất
3. Tìm m để độ dài đoạn AB ngắn nhất

1. Phương trình hoành độ giao điểm của $(D)$ và $(P)$ là

$x^{2}-mx-1=0$ $(*)$

Dễ thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt, do đó $(D)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt.

2. Gọi $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $(*)$. Khi đó $\left\{\begin{matrix} A(x_{1};y)\\ B\left ( x_{2};y_{2} \right ) \end{matrix}\right.$
Ta có

$(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-1)^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2(x_{1}+x_{2})+2$

Theo định lí $Viete$ thì $\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=m\\ x_{1}x_{2}=-1 \end{matrix}\right.$
Do đó

$(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-1)^{2}$

$=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}-2(x_{1}+x_{2})+2$

$=m^{2}+2m+4$

$(m+1)^{2}+3\geqslant 3$

3. Ta có

$AB=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$

$=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}+(x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-mx_{1}+mx_{2})^{2}}$