Chủ đề này có 4 trả lời

[tienlennua]

cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn :$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
CMR: $\frac{a^{3}}{2c+b}+\frac{b^{3}}{2a+c}+\frac{c^{3}}{2b+a}\geq \frac{1}{3}$
(2 cách)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienlennua: 25-12-2012 - 19:44

[BlackSelena]

cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn :$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
CMR: $\frac{a^{3}}{2c+b}+\frac{b^{3}}{2a+c}+\frac{c^{3}}{2b+a}\geq \frac{1}{3}$
(2 cách)

$VT = \frac{a^4}{2ac + 2ab} + \frac{b^4}{2ab + bc} + \frac{c^4}{2bc + 2ac}$
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel, ta có:
$\frac{a^4}{2ac + 2ab} + \frac{b^4}{2ab + bc} + \frac{c^4}{2bc + 2ac} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3(ab+bc+ca)}$
Mà ta có $3(ab+bc+ca) \leq 3(a^2+b^2+c^2)$ nên ta có đpcm

[Oral1020]

Cách 1:
Ta có:
$\sum \dfrac{a^3}{2c+b}=\sum \dfrac{a^4}{2ac+ab} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3(ab+bc+ac)}=\dfrac{1}{3(\sum ab)}$(C-S)
Ta sẽ chứng minh
$\dfrac{1}{3(\sum ab)} \ge \dfrac{1}{3}$
$\Longleftrightarrow 1 \ge \sum ab$
$\Longleftrightarrow a^2+b^2+c^2 \ge \sum ab$(luôn đúng

[tienlennua]

có hai cách, đây là một cách mình làm được:
theo BĐT Cô-si:
$\frac{a^{3}}{b+2c}+\frac{1}{9}a(b+2c)\geq 2\sqrt{\frac{a^{4}(b+2c)}{9(b+2c)}}=\frac{2a^{2}}{3}$
$\frac{b^{3}}{c+2a}+\frac{1}{9}b(c+2a)\geq 2\sqrt{\frac{b^{4}(c+2a)}{9(c+2a)}}=\frac{2b^{2}}{3}$
$\frac{c^{3}}{a+2b}+\frac{1}{9}c(a+2b)\geq 2\sqrt{\frac{c^{4}(a+2b)}{9(a+2b)}}=\frac{2c^{2}}{3}$
$\frac{a^{3}}{b+2c}+\frac{1}{9}a(b+2c)+\frac{b^{3}}{c+2a}+\frac{1}{9}b(c+2a)\frac{c^{3}}{a+2b}+\frac{1}{9}c(a+2b)\geq \frac{2(c^{2}+a^{2}+b^{2)}}{3}$$\frac{a^{3}}{b+2c}+\frac{b^{3}}{c+2a}+\frac{c^{3}}{a+2b}\geq \frac{2(c^{2}+a^{2}+b^{2)}-(ab+ac+bc)}{3}\geq\frac{2(c^{2}+a^{2}+b^{2)}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{3}\geq \frac{1}{3}$

[HungHuynh2508]

Ta có:
$\frac{a^{3}}{2c+b}+\frac{a(2c+b)}{9}\geqslant \frac{2a^{2}}{3}$
$\frac{b^{3}}{2a+c}+\frac{b(2a+c)}{9}\geqslant \frac{2b^{2}}{3}$
$\frac{c^{3}}{2b+a}+\frac{c(2b+a)}{9}\geqslant \frac{2c^{2}}{3}$
$\Rightarrow VT+\frac{3ac+3ab+3bc}{9}\geqslant \frac{2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}{3}=\frac{2}{3}$
$\Rightarrow VT\geqslant \frac{2}{3}-\frac{ab+bc+ac}{3}$
$\Rightarrow VT\geqslant \frac{2}{3}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}=\frac{1}{3}$
$\Rightarrow$ dpcm