CMR: nếu $a+b=1$ thì $a^{n}+b^{n}\geq \frac{1}{2^{n-1}}$, $\forall n\geq 1, n\in N$
#1
Đã gửi 29-12-2012 - 05:52
#2
Đã gửi 29-12-2012 - 08:28
với n=1 và n=2 bất đẳng thức đúng(chứng minh điều này khá đơn giản)
g/s: bdt đúng đến n=k-1 thì ta phải chứng minh $a^{k}+b^{k}\geq \frac{1}{2^{k-1}}$
ta có $a^{k}+b^{k}=(a+b)(a^{k-1}+b^{k-1})-ab(a^{k-2}+b^{k-2})\geq a^{k-1}+b^{k-1}-\frac{(a+b)^{2}}{4}(a^{k-2}+b^{k-2})\geq \frac{1}{2^{k-2}}-\frac{1}{2^{k-1}}=\frac{1}{2^{k-1}}$
từ đó ta có dpcm
- whiterose96 yêu thích
#3
Đã gửi 29-12-2012 - 10:47
cái này dùng quy nạp nha bạn
với n=1 và n=2 bất đẳng thức đúng(chứng minh điều này khá đơn giản)
g/s: bdt đúng đến n=k-1 thì ta phải chứng minh $a^{k}+b^{k}\geq \frac{1}{2^{k-1}}$
ta có $a^{k}+b^{k}=(a+b)(a^{k-1}+b^{k-1})-ab(a^{k-2}+b^{k-2})\geq a^{k-1}+b^{k-1}-\frac{(a+b)^{2}}{4}(a^{k-2}+b^{k-2})\geq \frac{1}{2^{k-2}}-\frac{1}{2^{k-1}}=\frac{1}{2^{k-1}}$
từ đó ta có dpcm
bạn có làm đc theo cách dùng nhị thức newton k? có cách đó nữa nhưng mình làm chưa ra
#4
Đã gửi 30-12-2012 - 09:46
bạn nhân chéo lên xong dùng bất đảng thức holder nha
#5
Đã gửi 30-12-2012 - 11:35
Đặt $a=\frac{1}{2}+h;b=\frac{1}{2}-h$ do đó $$a^n+b^n=\left(\frac{1}{2}+h \right )^n+\left(\frac{1}{2}-h \right )^n =\left(\frac{1}{2n}+C_n^1 \frac{h}{2^{n-1}}+C_n^2.\frac{h^2}{2^{n-2}}+... \right )+\left(\frac{1}{2}-C_n^2.\frac{h^2}{2^{n-2}}+... \right )$$CMR: nếu $a+b=1$ thì $a^{n}+b^{n}\geq \frac{1}{2^{n-1}}$, $\forall n\geq 1, n\in N$
$$=\frac{1}{2^{n-1}}+C_n^2\frac{h}{2^{n-1}}+C_n^4\frac{h^4}{2^{n-3}}+... \ge \frac{1}{2^{n-1}}$$
Dấu "=" xảy ra khi $h=0 \iff a=b=\frac{1}{2}$
- whiterose96 yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#6
Đã gửi 30-12-2012 - 12:05
$\frac{1}{2^{n-1}}+C_n^2\frac{h}{2^{n-1}}+C_n^4\frac{h^4}{2^{n-3}}+... \ge \frac{1}{2^{n-1}}$
Kiên giải thích rõ phần này đi, tớ bị mắc chỗ này k hiểu
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi whiterose96: 30-12-2012 - 12:05
#7
Đã gửi 30-12-2012 - 12:08
Cái này hiển nhiên thôi mà :| ví dụ cho $a,b \ge 0$ thì $a^2+b^2 \ge a$ khi đó $b=0$Kiên giải thích rõ phần này đi, tớ bị mắc chỗ này k hiểu
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#8
Đã gửi 30-12-2012 - 12:30
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh