Chủ đề này có 2 trả lời

[VNSTaipro]

Tìm Min, Max của $\sqrt{3}cosA+3(cosB+cosC)$ với $A, B, C$ là các góc của 1 tam giác

[minh29995]

Tìm Min, Max của $\sqrt{3}cosA+3(cosB+cosC)$ với $A, B, C$ là các góc của 1 tam giác

Ta có:
$S=\sqrt{3}cosA+6cos\frac{B+C}{2}.cos\frac{B-C}{2}$
$S=\sqrt{3}-2sin^2\frac{A}{2}+6sin\frac{A}{2}.cos\frac{B-C}{2}$
Đặt $cos\frac{B-C}{2}=a \geq 0$ là tham số.
$sin\frac{A}{2}=x$ là ẩn. ($x\in (0; \frac{\pi}{2})$ )
Xét $f(x)=\sqrt{3}-2x^2+6ax$
$f'(x)=4\sqrt{3}-6a$
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
Lập bảng biến thiên ta có:
MinS không tồn tại.
MaxS đạt được khi $x=\frac{\sqrt{3}}{2}a$.
mà $a\leq 1$ nên MaxS đạt được khi
$a=1, x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ tức $A=120^0; B=C=30^0$

[maitienluat]

Cách khác:dùng 1 KQ quen thuộc là $1+\frac{x^{2}}{2}\geq \cos A+x(\cos B+\cos C)$(c/minh bằng tam thức bậc hai). Từ đây suy ra $S\leq \frac{5\sqrt{3}}{2}$. Đẳng thức xảy ra khi $A=120^{\circ},B=C=30^{\circ}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 30-12-2012 - 10:55