Chủ đề này có 3 trả lời

[VNSTaipro]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương
Chứng minh rằng: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 9(ab+bc+ca)$

[tramyvodoi]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương
Chứng minh rằng: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 9(ab+bc+ca)$

Ta có $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$ (cái này chứng minh không khó)
$\Rightarrow 3(a+b+c)^{2}\geq 9(ab+bc+ca)$
Ta đưa bài toán vể chứng minh:
$(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)\geq 3(a+b+c)^{2}$
Ta có $(a+b+c)^{2}\leq (a^{2}+2)(1+\frac{(b+c)^{2}}{2})$
Ta cần chứng minh:
$(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3(1+\frac{(b+c)^{2}}{2})$
$\frac{b^{2}+c^{2}}{2}+b^{2}c^{2}-3bc+1\geq 0$
Ta có $\frac{b^{2}+c^{2}}{2}+b^{2}c^{2}-3bc+1\geq bc+b^{2}c^{2}-3bc+1\geq (bc-1)^{2}$
đpcm

[Laser Angry Bird]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương
Chứng minh rằng: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 9(ab+bc+ca)$

Mình cũng có cách c/m dùng BĐT Schur:
$\prod \left ( a^{2}+2 \right )= \prod a^{2}+2\sum a^{2}b^{2}+4\sum a^{2}+8$
Mà:$\sum a^{2}\geqslant \sum ab$
Và: $2\sum a^{2}b^{2}+6=2\left [ \left ( a^{2}b^{2}+1 \right )+\left ( b^{2}c^{2}+1 \right )+\left ( c^{2}a^{2}+1 \right ) \right ]\geqslant 4\sum ab$
Và: $\prod a^{2}+1+1\geqslant 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}= \frac{3abc}{\sqrt[3]{abc}}\geqslant \frac{9abc}{a+b+c}$ (*)
Áp dung BĐT Schur ta có: $9abc\geqslant 4\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ca \right )-\left ( a+b+c \right )^{3}$
Thay vào (*) ta có: $\prod a^{2}+2\geqslant 4\left ( ab+bc+ca \right )-\left ( a+b+c \right )^{2}=2\left ( ab+bc+ca \right )-\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$
Cộng tất cả các BĐT trên ta có: $\prod \left ( a^{2}+2 \right )\geqslant 2\sum ab +4\sum ab+3\sum a^{2}\geqslant 9\sum ab$
ĐTXR: a=b=c=1

[KietLW9]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương
Chứng minh rằng: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 9(ab+bc+ca)$

Lời giải.

Ta chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geqslant 3(a+b+c)^{2}+(abc-1)^2$

Thật vậy, áp dụng bổ đề quen thuộc $a^2+b^2+c^2+2abc+1\geqslant 2(ab+bc+ca)$, ta được: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)-3(a+b+c)^{2}-(abc-1)^2=(a^2+b^2+c^2+2abc+1)+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-6(ab+bc+ca)+6\geqslant 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-4(ab+bc+ca)+6=2\left [ (ab-1)^2+(bc-1)^2+(ca-1)^2 \right ]\geqslant 0$

Vậy ta có: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geqslant 3(a+b+c)^{2}+(abc-1)^2$ và bất đẳng thức cần chứng minh được giải quyết

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$