Cho $\Delta ABC$ vuông tại A có BC cố định , đường cao AH . I đối xứng với H qua AB . K đối xứng với H qua AC . HI cắt AB tại E . HK cắt AC tại F
a, tứ giác AEHF là hình gì ?
b, CMR : a là trung điểm của IK .
c, Diện tích tứ giác AEHF lớn nhất thì tam giác ABC cần điều kiện gì ?( sử dụng bất đẳng thức )
Đợi mỏi mòn mà chẳng ai giúp mình tí nào ! chán !
Hên xui đúng =='
Kẻ đường cao $AM.$
Dễ dàng chứng minh được tứ giác $AEHF$ là hình chữ nhật và $AE=\frac{1}{2}AB;$ $AF=\frac{1}{2}AC$.
$\Rightarrow$ $S_{AEHF}=AE.AF=\frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AC=\frac{1}{4}AB.AC$
Do đó $S_{AEHF}$ lớn nhất khi $AB.AC$ lớn nhất.
Mà $AB.AC=AM.BC$ và $BC$ cố định nên $S_{AEHF}$ lớn nhất khi $AM$ lớn nhất.
Xét $\Delta AMH,$ $\widehat{AMH}=90^{\circ},$ ta có:
$AM\leq AH=\frac{1}{2}BC$
Mà $BC$ không đổi nên $GTLN$ của $AM$ bằng $\frac{1}{2}BC.$
Dấu bằng xảy ra khi:
$M\equiv H$
$\Leftrightarrow$ $\Delta ABC$ có đường cao vừa là đường trung tuyến
$\Leftrightarrow$ $\Delta ABC$ cân tại $A$
Vây $S_{AEHF}$ lớn nhất khi $\Delta ABC$ vuông cân tại $A.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 05-01-2013 - 18:57