Chủ đề này có 3 trả lời

[Sagittarius912]

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn:
(a-b)(b-c)(c-a) khác 0 CMR ta luôn có:
$(\frac{a-b}{b-c})^{2}+(\frac{b-c}{c-a})^{2}+(\frac{c-a}{a-b})^{2}\geq 5$
______________________________________________
bài này ngoài cách trong sách của anh Cẩn còn cách nào khác không??

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 01-01-2013 - 22:40

[Nguyenhuyen_AG]

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn:
(a-b)(b-c)(c-a) khác 0 CMR ta luôn có:
$(\frac{a-b}{b-c})^{2}+(\frac{b-c}{c-a})^{2}+(\frac{c-a}{a-b})^{2}\geq 5$
______________________________________________
bài này ngoài cách trong sách của anh Cẩn còn cách nào khác không??

Ta có đẳng thức sau đây $$\left (\frac{a-b}{b-c} \right)^{2}+\left(\frac{b-c}{c-a}\right)^{2}+\left (\frac{c-a}{a-b} \right )^{2}\geq 5+\left ( 1+ \frac{a-b}{b-c}+\frac{b-c}{c-a}+\frac{c-a}{a-b}\right )^2.$$ Từ đó dễ dàng suy ra điều phải chứng minh.

[Sagittarius912]

Ta có đẳng thức sau đây $$\left (\frac{a-b}{b-c} \right)^{2}+\left(\frac{b-c}{c-a}\right)^{2}+\left (\frac{c-a}{a-b} \right )^{2}\geq 5+\left ( 1+ \frac{a-b}{b-c}+\frac{b-c}{c-a}+\frac{c-a}{a-b}\right )^2.$$ Từ đó dễ dàng suy ra điều phải chứng minh.

Cho mình hỏi cái ý tưởng để nghĩ ra hằng đẳng thức đó??

[Nguyenhuyen_AG]

Cho mình hỏi cái ý tưởng để nghĩ ra hằng đẳng thức đó??

Ta có thể lí giải điều này như sau.

Đặt $x=a-b,\; y=b-c,\; z=c-z.$ Ta có $x+y+z=0$ bất đẳng thức cần chứng minh trở thành $$\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge 5.$$ Chú ý rằng $$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}=\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}=-1-1-1=-3.$$ Nên ta có $$\begin{aligned}\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}-5&=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}-6+1\\&=\left [\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}+2\left ( \frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x} \right ) \right ]+2\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right )+1\\&=\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right )^2+2\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right )+1\\&=\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+1 \right )^2.\end{aligned}$$ Từ đó thu được đẳng thức đẹp như trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 15-01-2013 - 16:02