Chủ đề này có 3 trả lời

[duaconcuachua98]

Cho $f(x)=ax^{2}+bx+c$ thỏa mãn $f(x)\in \mathbb{Z}$ với mọi $x\in \mathbb{Z}$. Hỏi $a,b,c$ có nhất thiết phải là số nguyên hay không? Tại sao?

[BearBean]

Giải:
Ta có : $f(x)=ax^{2}+bx+c$ thoả mãn $f(x)\in \mathbb{Z}$ với mọi $x\in \mathbb{Z}$.
nên thay $x=0$ thì $f(x)\in \mathbb{Z}$ suy ra $c$ là số nguyên.
thay $x=1$ $(=)a+b+c\in \mathbb{Z}$ $(=)a+b\in \mathbb{Z}$ (vì $c$ nguyên). (1)
thay $x=-1$ $(=)a-b+c\in \mathbb{Z}$ $(=)a-b\in \mathbb{Z}$ (2)
gộp (1) và (2)
$2a\in \mathbb{Z}$ và $2b\in \mathbb{Z}$
Đặt $2a= k$ $(=)a= \frac{k}{2}$ (với $k\in \mathbb{Z}$)
$f(x)=ax^{2}+bx+c$
$(=)f(x)=a(x^{2}-x)+x(a+b)+c$
$(=)f(x)=ax(x-1)+x(a+b)+c$
Mà $x(x-1)\vdots 2$ đặt $x(x-1)=2m$ (với $m\in \mathbb{N}$)
$(=)f(x)=\frac{k}{2}2m+x(a+b)+c$
$(=)f(x)=km+x(a+b)+c$ (luôn nguyên).
Với $k$ lẻ thì $a$ sẽ không nguyên nhưng $f(x)$ vẫn nguyên .
Vậy không nhất thiết $a,b,c$ phải nguyên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BearBean: 03-01-2013 - 12:41

[chaugaihoangtuxubatu]

Giải:
Ta có : $f(x)=ax^{2}+bx+c$ thoả mãn $f(x)\in \mathbb{Z}$ với mọi $x\in \mathbb{Z}$.
nên thay $x=0$ thì $f(x)\in \mathbb{Z}$ suy ra $c$ là số nguyên.
thay $x=1$ $(=)a+b+c\in \mathbb{Z}$ $(=)a+b\in \mathbb{Z}$ (vì $c$ nguyên). (1)
thay $x=-1$ $(=)a-b+c\in \mathbb{Z}$ $(=)a-b\in \mathbb{Z}$ (2)
gộp (1) và (2)
$=> a\in \mathbb{Z}$ và còn lại $b\in \mathbb{Z}$
Vậy $a,b,c\in \mathbb{Z}$

Nếu $a-b$ và $a+b$ nguyên thì liệu $a,b$ có chắc chắn nguyên không. Ví dụ như $a=8,5;b=6,5$ không nguyên thì $a-b$ và $a+b$ vẫn nguyên đó thôi.

[BearBean]

Cảm ơn bạn nhiều, mình sửa lại bài làm rồi,bạn xem qua xem đúng không !