Chủ đề này có 4 trả lời

[barcavodich]

Cho x,y,z là các số thực dương có tổng bằng 3 . Chứng minh rằng
$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\ge xy+xz+yz$

MOD: Học gõ Latex lại nhé bạn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 02-01-2013 - 10:33

[duong vi tuan]

ta có:$$9=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\rightarrow \sum ab=\frac{9-\sum a^2}{2}$$
thay lên bất đẳng thức trên ta đc 1 bdt tương đương:$$a^2+b^2+c^2+2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}\geq 9$$\
ta có:$$a^2+\sqrt{a}+\sqrt{a}\geq 3a$$ từ đó suy ra dpcm

[25 minutes]

Tổng quát bài toán :Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$
Chứng minh rằng : $\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}\geq ab+bc+ac$ ?

[dark templar]

Tổng quát bài toán :Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$
Chứng minh rằng : $\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}\geq ab+bc+ac$ ?

Nếu ta tổng quát 1 cách chặt chẽ hơn thì sẽ có kết quả sau :
$$a^{k}+b^{k}+c^{k}-(ab+bc+ca) \ge \min \left \{0;\dfrac{3^{k}}{2^{k-1}}-\dfrac{9}{4} \right \}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-01-2013 - 10:29

[vinh1712]

lúc thi Năng khiếu cũng có bài này, nghĩ nát óc mới ra