Chủ đề này có 6 trả lời

[ngminhtuan]

Tìm $f'(1)$ với $f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{3-x^2}{2}khi0\leqslant x\leqslant 1 \\ \frac{1}{x}khi 1< x< +\infty \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngminhtuan: 02-01-2013 - 15:15

[duongtoi]

Đầu tiên là xét tính liên tục của hàm $f(x)$ tại $x=1$.
Ta có, $\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{1}{x}=1=f(1).$
$\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{3-x^2}{2}=\frac{1}{2}$.
Do vậy, $\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)\ne \lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)$ nên hàm số không liên tục tại $x=1$.
Suy ra, hàm số không có đạo hàm tại $x=1.$

[ngminhtuan]

Đầu tiên là xét tính liên tục của hàm $f(x)$ tại $x=1$.
Ta có, $\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{1}{x}=1=f(1).$
$\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{3-x^2}{2}=\frac{1}{2}$.
Do vậy, $\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)\ne \lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)$ nên hàm số không liên tục tại $x=1$.
Suy ra, hàm số không có đạo hàm tại $x=1.$

Sao $\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{3-x^2}{2}=\frac{1}{2}$ hả bạn, tớ tưởng $\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{3-x^2}{2}=1$.

[phudinhgioihan]

Tìm $f'(1)$ với $f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{3-x^2}{2}khi0\leqslant x\leqslant 1 \\ \frac{1}{x}khi 1< x< +\infty \end{matrix}\right.$

Hàm này liên tục tại $1$, duongtoi làm sai nhé, tính giới hạn sai !

Dùng ngay cái định nghĩa đạo hàm mà chém vậy.

Hiển nhiên $f(1)=1$

$f'(1^-)=\lim_{x \to 1^-} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x \to 1^-} \frac{1-x^2}{2(x-1)}=\lim_{x \to 1^-} -\frac{x+1}{2}=-1 $

$f'(1^+)=\lim_{x \to 1^+} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x \to 1^+} \dfrac{1-x}{x(x-1)}=\lim_{x \to 1^+} \dfrac{-1}{x}=-1 $

Do $f'(1^-)=f'(1^+)=-1$ nên $f'(1)$ tồn tại và $f'(1)=-1$

[duongtoi]

Hàm này liên tục tại $1$, duongtoi làm sai nhé, tính giới hạn sai !

Dùng ngay cái định nghĩa đạo hàm mà chém vậy.

Hiển nhiên $f(1)=1$

$f'(1^-)=\lim_{x \to 1^-} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x \to 1^-} \frac{1-x^2}{2(x-1)}=\lim_{x \to 1^-} -\frac{x+1}{2}=-1 $

$f'(1^+)=\lim_{x \to 1^+} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x \to 1^+} \dfrac{1-x}{x(x-1)}=\lim_{x \to 1^+} \dfrac{-1}{x}=-1 $

Do $f'(1^-)=f'(1^+)=-1$ nên $f'(1)$ tồn tại và $f'(1)=-1$

Sorry cả nhà, mình tính nhầm. Nhưng nếu muốn tính đạo hàm, đầu tiên phải xét tính liên tục của nó trước đã nhé.
Vì điều kiện cần để tồn tại đạo hàm là hàm số phải liên tục tại điểm cần xét trước.
Nếu có dạng bài này trong thi ĐH mà ai chỉ tính đạo hàm không thì được một nửa số điểm, còn trong các bài tập trên lớp thì các thầy cô thường hay cho 0 luôn đấy.

[phudinhgioihan]

Sorry cả nhà, mình tính nhầm. Nhưng nếu muốn tính đạo hàm, đầu tiên phải xét tính liên tục của nó trước đã nhé.
Vì điều kiện cần để tồn tại đạo hàm là hàm số phải liên tục tại điểm cần xét trước.
Nếu có dạng bài này trong thi ĐH mà ai chỉ tính đạo hàm không thì được một nửa số điểm, còn trong các bài tập trên lớp thì các thầy cô thường hay cho 0 luôn đấy.

Bạn duongtrung nhầm lẫn chỗ này nhé, khái niệm đạo hàm là độc lập với khái niệm liên tục, trong định nghĩa đạo hàm cũng chẳng có giả thiết liên tục cho nên không cần xét tính liên tục trước khi tính đạo hàm, hiển nhiên, nếu hàm không liên tục tại $x_0$ thì nó không có đạo hàm tại $x_0$ và phần xét liên tục luôn dễ hơn là xét khả vi, do đó những bài toán phức tạp và ta dự đoán nó không khả vi tại $x_0$, thay vì nhào vô tính đạo hàm trái và đạo hàm phải thì ta xét tính liên tục đơn giản hơn!

Định nghĩa chính xác của đạo hàm (chỉ xét hàm biến thực)

Cho hàm số biến thực $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a,b) \subset \mathbb{R} $ . Xét $x_0 \in (a,b) $ và $x \in (a,b) -\{x_0\} $

Đặt $\Delta x=x-x_0 \;\;, \Delta y=f(x)-f(x_0) $. Nếu $\dfrac{\Delta y}{\Delta x} $ dần tới một giá trị hữu hạn khi $\Delta x \to 0$ thì giá trị đó gọi là đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại $x_0$ , ký hiệu $f'(x_0)$ hay $\dot{f}(x_0)$

$f'(x_0)=\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $

[zonikna]

Hàm số hoặc là liên tục hoặc là không liên tục, có đạo hàm hoặc không có đạo hàm
1. HS không liên tục => Hàm số không có đạo hàm
2. HS liên tục => Hoặc là có đạo hàm hoặc là không có đạo hàm
3. HS có đạo hàm => HS liên tục

Bởi vậy: Khi đề bài yêu cầu tính đạo hàm thì cứ tính thoải mái.
Nếu bạn thấy có đạo hàm thì KL HS liên tục.

(Tất cả các ý Đạo hàm hay Liên tục ở trên theo sau là ĐK tại điểm hay trên miền đang xét)

Không biết mình rút ra như vậy có đúng không nữa ??

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 04-01-2013 - 16:52