Chủ đề này có 2 trả lời

[tramyvodoi]

Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác. Chứng minh:
$a^{4}+b^{4}+c^{4}< 2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$

[minhtuyb]

Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác. Chứng minh:
$a^{4}+b^{4}+c^{4}< 2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$

Hướng là phân tích đa thức thành nhân tử. Biến đổi loạn một hồi thì nó ra:
$$(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0$$
Đúng do $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác $\square$

[Ispectorgadget]

Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác. Chứng minh:
$a^{4}+b^{4}+c^{4}< 2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$

$$A= 2a^2b^2 + 2b^2c^2+ 2a^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4= 4a^2c^2-(a^4 +b^4 +c^4 - 2a^2b^2+ 2a^2c^2- 2b^2c^2)$$
$$= 4a^2c^2 - (a^2 -b^2 +c^2)= (2ac+a^2 - b^2+c^2)(2ac - a^2 +b^2 - c^2)$$
$$= [(a+c)^2-b^2)(b^2-(a-c)^2]= (a+b+c)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)$$
Do $a, b, c$ là 3 cạnh tam giác nên
$a+b+c>0$
$a+c-b>0$
$b+a-c>0$
Do đó $A>0$ vậy ta có điều cần chứng minh.