Chủ đề này có 12 trả lời

[hungmitom]

cho x,y,z là các số thực không âm thoả: x+y+z=1.
tìm giá trị lớn nhất của: P=$x^{2}y+y^2z+z^2x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungmitom: 04-01-2013 - 22:41

[N H Tu prince]

không để ý dk dấu bằng,đã fix
Giả sử $x\ge y\ge z$
$=>(y-x)(y-z)\le 0=>y^2+xz\le xy+yz=>y^2z+xz^2\le xyz+yz^2$
$=>P\le x^2y+xyz+yz^2=y(x^2+xz+z^2)\le y(x+z)^2=4.y\frac{(x+z)^2}{4}\le 4.\frac{2(x+y+z)}{54}=\frac{4}{27}$
Đẳng thức xảy ra khi $(x,y,z)=(\frac{2}{3};\frac{1}{3};0)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangngocbao1997: 04-01-2013 - 22:28

[19kvh97]

Giả sử $x\le y\le z$
$=>(y-x)(y-z)\le 0=>y^2+xz\le xy+yz=>y^2z+xz^2\le xyz+yz^2$
$=>P\le x^2y+xyz+yz^2=y(x^2+xz+z^2)\le y(x+z)^2=4.y\frac{(x+z)^2}{4}\le 4.\frac{2(x+y+z)}{54}=\frac{4}{27}$
Đẳng thức xảy ra khi $(x,y,z)=(0;\frac{2}{3};\frac{1}{3})$

$x,y,z$ là các số dương mà bạn

[anhxuanfarastar]

cho x,y,z là các số thực dương thoả: x+y+z=1.
tìm giá trị lớn nhất của: P=$x^{2}y+y^2z+z^2x$

Giả sử $x\leq y\leq z$
Theo bdt Chebyshev thì $x^2y+y^2z+z^2x\leq \frac{1}{3}(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)\leq \frac{1}{9}(x+y+z)^3=\frac{1}{9}$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

[maitienluat]

Cũng k thể giải như thế được vì BĐT này hoán vị chứ k phải đối xứng nên k thể giả sử $x\leq y\leq z$ được. Mình nghĩ cách giải của hoangngocbao là đúng và đề phải là c,b,a k âm. Chủ topic vào giải đáp hộ nào

[hungmitom]

Giả sử $x\le y\le z$
$=>(y-x)(y-z)\le 0=>y^2+xz\le xy+yz=>y^2z+xz^2\le xyz+yz^2$
$=>P\le x^2y+xyz+yz^2=y(x^2+xz+z^2)\le y(x+z)^2=4.y\frac{(x+z)^2}{4}\le 4.\frac{2(x+y+z)}{54}=\frac{4}{27}$
Đẳng thức xảy ra khi $(x,y,z)=(0;\frac{2}{3};\frac{1}{3})$

bạn giả sử $x\leqslant y\leqslant z$mà dấu dẳng thức lại là x<z<y ?

[hungmitom]

Giả sử $x\leq y\leq z$
Theo bdt Chebyshev thì $x^2y+y^2z+z^2x\leq \frac{1}{3}(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)\leq \frac{1}{9}(x+y+z)^3=\frac{1}{9}$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

hình như bị ngược chiều rùi bạn. với lại nếu chọn hai bộ là $\left ( x^{2},y^{2},z^{2} \right )$ và (y,z,x) thì bộ (y,z,x) không là bộ đơn điệu tăng.

[duong vi tuan]

giả sử x là max
$$x^2y+y^2z+z^2x\leq x^2y+xyz+\frac{x^2z}{2}+\frac{xz^2}{2}=x(x+z)(y+\frac{x}{2})=4\frac{x}{2}\frac{x+z}{2}(y+\frac{x}{2})\leq 4[\frac{(\frac{x}{2}+\frac{x+z}{2}+y+\frac{z}{2})}{3}]^3=\frac{4}{27}$$

[Laser Angry Bird]

cho x,y,z là các số thực không âm thoả: x+y+z=1.
tìm giá trị lớn nhất của: P=$x^{2}y+y^2z+z^2x$

Có thể tổng quát thành bài toán:
Cho x,y,z không âm thõa x+y+z=1. Tìm Max của P=$x^{n}y+y^{n}z+z^{n}x$ (n là số tự nhiên)

[Laser Angry Bird]

Mình xin giải là:
-Nếu n=0 thì P=x+y+z=1
-Nếu n=1 thì P=xy+yz+zx $\leqslant \frac{\left ( x+y+z \right )^{2}}{3}= \frac{1}{3}$
-Nếu n$\geqslant 2$ thì đặt x=max{x,y,z}
$x^{n}y+y^{n}z+z^{n}x\leqslant x^{n}y+x^{n-1}yz+\frac{z^{n}x}{2}+\frac{z^{n}x}{2}
\leqslant x^{n}y+x^{n-1}yz+\frac{zx^{n}}{2}+\frac{z^{2}x^{n-1}}{2}$
$=x^{n}\left ( y+\frac{z}{2} \right )+x^{n-1}z\left ( y+{\frac{z}{2}} \right )$
$=x^{n-1}\left ( x+z \right )\left ( y+\frac{z}{2} \right )$ (*)
Vì n$\geqslant$2 nên $\frac{n-1}{n}\geqslant 1/2$

$\Rightarrow$ (*) $\leqslant$ $x^{n-1}\left ( x+z \right )\left ( y+\frac{z\left ( n-1 \right )}{n} \right )$
$=n^{n}.\frac{x}{n}\frac{x}{n}...\frac{x}{n}\left ( \frac{x+z}{n} \right )\left ( y+z\frac{\left ( n-1 \right )}{n} \right )$
$\leqslant n^{n}\left ( \frac{\frac{x\left ( n-1 \right )}{n}+\frac{x+z}{n}+y+\frac{z\left ( n-1 \right )}{n}}{n+1} \right )^{n+1}$
$=\frac{n^{n}}{\left ( n+1 \right )^{n+1}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 25-03-2013 - 12:48

[catbuilts]

Duong vi tuan: bất đẳng thức cuối cùng dấu = ko xảy ra dc, vì vậy cách giải bị sai rồi 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi catbuilts: 24-03-2013 - 22:36

[25 minutes]

Có thể tổng quát thành bài toán:
Cho x,y,z không âm thõa x+y+z=1. Tìm Max của P=$x^{n}y+y^{n}z+z^{n}x$ (n là số tự nhiên)

Bài toán tổng quát với $n$ là số tự nhiên như sau

Với $a,b,c$ là các số không âm và $a+b+c=1$.

Ta luôn có $a^nb+b^nc+c^na< \frac{4}{27}$

Dấu = chỉ xảy ra ở 1 số trường hợp nhỏ của $n$, tổng quát thì không 

[4869msnssk]

không để ý dk dấu bằng,đã fix
Giả sử $x\ge y\ge z$
$=>(y-x)(y-z)\le 0=>y^2+xz\le xy+yz=>y^2z+xz^2\le xyz+yz^2$
$=>P\le x^2y+xyz+yz^2=y(x^2+xz+z^2)\le y(x+z)^2=4.y\frac{(x+z)^2}{4}\le 4.\frac{2(x+y+z)}{54}=\frac{4}{27}$
Đẳng thức xảy ra khi $(x,y,z)=(\frac{2}{3};\frac{1}{3};0)$

hình như chỗ này hơi nhầm