Chủ đề này có 2 trả lời

[Kudo Shinichi]

Cho đoạn thẳng $\text{AB} = 2\text{a}$ cố định. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ $\text{AB}$ vẽ $2$ tia $\text{Ax}$ và $\text{By}$ cùng vuông góc với $\text{AB}$. Qua một điểm $\text{O}$ cố định thuộc $\text{AB}$ luôn có hai đường thẳng vuông góc thay đổi với nhau cắt $\text{Ax}$ và $\text{By}$ lần lượt tại $\text{C}$ và $\text{D}$. Xác định vị trí của $\text{C , D}$ sao cho diện tích tam giác $\text{COD}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 05-01-2013 - 20:47

[Beautifulsunrise]

Cho đoạn thẳng $\text{AB} = 2\text{a}$ cố định. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ $\text{AB}$ vẽ $2$ tia $\text{Ax}$ và $\text{By}$ cùng vuông góc với $\text{AB}$. Qua một điểm $\text{O}$ cố định thuộc $\text{AB}$ luôn có hai đường thẳng vuông góc thay đổi với nhau cắt $\text{Ax}$ và $\text{By}$ lần lượt tại $\text{C}$ và $\text{D}$. Xác định vị trí của $\text{C , D}$ sao cho diện tích tam giác $\text{COD}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

Gợi ý:
Đặt BD = x. Tính được AC theo x. Từ đó tính được OC, OD theo x. BT đưa về tìm GTNN của 1 tam thức bậc hai.

[BlackSelena]

Gợi ý:
Đặt BD = x. Tính được AC theo x. Từ đó tính được OC, OD theo x. BT đưa về tìm GTNN của 1 tam thức bậc hai.

Tổng quát với $OA = a$, $OB = b$
Đặt $AC = x, BD = y$
Khi đó cần tìm min $S_{COD} = OC.OD \Leftrightarrow OC^2.OD^2_{min}$
Lại có $OC^2.OD^2 = (a^2+x^2)(b^2+y^2) \geq (ab+xy)^2$
Đẳng thức xảy ra khi $ay = bx$.
Chú ý, $\triangle AOC \sim \triangle BDO$ nên $ab = xy$
Vậy tóm lại $(OC.OD)^2 \geq 4a^2b^2$. Đẳng thức xảy ra khi $a=x, b=y$