Chủ đề này có 1 trả lời

[triethuynhmath]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn : $abc=1$.
CMR: $\sum \frac{12a+7}{2a^2+1}\leq 19$

[tramyvodoi]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn : $abc=1$.
CMR: $\sum \frac{12a+7}{2a^2+1}\leq 19$

Bất đẳng thức trên tương đương:
$\sum (9-\frac{12a+7}{2a^{2}+1})\geq 8$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(3a-1)^{2}}{2a^{2}+1}\geq 4$
Theo C-S:
$\sum \frac{(3a-1)^{2}}{2a^{2}+1}\geq \frac{(3a-1+3b-1+3c-1)^{2}}{2a^{2}+1+2b^{2}+1+2c^{2}+1}\geq \frac{(3a+3b+3c-3)^{2}}{2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+3}$
Cần chứng minh
$9(a+b+c-1)^{2}\geq 4(2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+3)$
Do $(a+b+c-1)^{2}=\sum a^{2}+2\sum \frac{1}{a}-2\sum a+3$
nên bđt trên đc viết lại dưới dạng:
$f(a)+f(b)+f(c)\geq 3$ với $f(x)=x^{2}+18(\frac{1}{x}-x)$
Giả sử a=max{a,b,c}
Do abc=1 nên $a\geq 1, bc\leq 1$
Ta sẽ chứng minh 2 bđt sau:
$f(b)+f©\geq 2f(\sqrt{bc})$ và $f(a)+f(\sqrt{bc})\geq 3$
Bđt 1 chứngg minh như sau:
$f(b)+f©-2f(\sqrt{bc})=(b-c)^{2}+18(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2}(\frac{1}{bc}-1)\geq 0$
Đề chứng minh bđt sau, ta viết nó dưới dạng:
$f(x^{2})+2f(\frac{1}{x})\geq 3$ (với $x=\sqrt{a}$
Sau khai triển, rút gọn ta được:
$x^{6}-18x^{5}+36x^{4}-3x^{2}-36x+20\geq 0$
$\Leftrightarrow (x-1)^{2}(x-2)^{2}(x^{2}+6x+5)\geq 0$
Bai toán được chứng minh xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 06-01-2013 - 13:36