3 replies to this topic

[Forgive Yourself]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ TĨNH
HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN TOÁN (Chuyên)
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút
(Đề thi có 01 trang)

Câu 1 a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+6x=6y\\ y^2+9=2xy \end{matrix}\right.$
b) Giải phương trình: $\sqrt[3]{x+6}+\sqrt{x-1}=x^2-1$
Câu 2 a) Cho các số $a, b, c, x, y, z$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x+y+z=1\\ \frac{a}{x^3}=\frac{b}{y^3}=\frac{c}{z^3} \end{matrix}\right.$
Chứng minh $\sqrt[3]{\frac{a}{x^2}+\frac{b}{y^2}+\frac{c}{z^2}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$
b) Tìm số nguyên $m$ để phương trình $x^2+m(1-m)x-3m-1=0$ có nghiệm nguyên.
Câu 3 Tam giác $ABC$ có góc $B, C$ nhọn, góc $A$ nhỏ hơn $45^o$, nội tiếp đường tròn tâm $O$, $H$ là trực tâm. $M$ là một điểm trên cung nhỏ $BC$ ($M$ không trùng với $B, C$). Gọi $N, P$ lần lượt là điểm đối xứng của $M$ qua các đường thẳng $AB, AC$.
a) Chứng minh tứ giác $AHCP$ nội tiếp đường tròn và $3$ điểm $N, H, P$ thẳng hàng.
b) Tìm vị trí của $M$ để diện tích tam giác $ANP$ lớn nhất.
Câu 4 Cho các số dương $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện $abc=8$.
Chứng minh: $\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{2+a}{2+b}+\frac{2+b}{2+c}+\frac{2+c}{2+a}$.
Câu 5 Cho $2012$ số thực $a_1,a_2,a_3,...,a_{2012}$ có tính chất tổng của $1008$ số bất kì lớn hơn tổng của $1004$ số còn lại. Chứng minh rằng trong $2012$ số thực đã cho có ít nhất $2009$ số thực dương.

Edited by Forgive Yourself, 06-01-2013 - 17:25.

[BlackSelena]

Câu 2 a) Cho các số $a, b, c, x, y, z$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x+y+z=1\\ \frac{a}{x^3}=\frac{b}{y^3}=\frac{c}{z^3} \end{matrix}\right.$
Chứng minh $\sqrt[3]{\frac{a}{x^2}+\frac{b}{y^2}+\frac{c}{z^2}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$
b) Tìm số nguyên $m$ để phương trình $x^2+m(1-m)x-3m-1=0$ có nghiệm nguyên.
Câu 3 Tam giác $ABC$ có góc $B, C$ nhọn, góc $A$ nhỏ hơn $45^o$, nội tiếp đường tròn tâm $O$, $H$ là trực tâm. $M$ là một điểm trên cung nhỏ $BC$ ($M$ không trùng với $B, C$). Gọi $N, P$ lần lượt là điểm đối xứng của $M$ qua các đường thẳng $AB, AC$.
a) Chứng minh tứ giác $AHCP$ nội tiếp đường tròn và $3$ điểm $N, H, P$ thẳng hàng.
b) Tìm vị trí của $M$ để diện tích tam giác $ANP$ lớn nhất.

Câu 2
Đặt $x = \frac{1}{m} ; y = \frac{1}{n}; z = \frac{1}{p}$ thì ta có $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{p} = 1$
Cần chứng minh $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} +\sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{am^2 + bn^2 + cp^2}$
Đặt $am^3 = bn^3 + cp^3 = q^3$
Vậy $\sum \sqrt[3]{a} = q(\sum \dfrac{1}{m}) = q$
Mặt khác, $\sum am^2 = \sum \dfrac{am^3}{m} = q^3(\sum \dfrac{1}{m}) = q^3$
Vậy ta có đpcm
Câu 3:
a, Đường thẳng steiner @@!
b, $S_{ANP} = \dfrac{AN.AP.\sin BAC}{2} = \dfrac{AM^2.\sin BAC}{2}$
Vậy diện tích tam giác $ANP$ lớn nhất khi $AM$ lớn nhất hay $AM$ là đường kính

Edited by BlackSelena, 06-01-2013 - 18:08.

[triethuynhmath]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ TĨNH
HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN TOÁN (Chuyên)
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút
(Đề thi có 01 trang)

Câu 1 a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+6x=6y\\ y^2+9=2xy \end{matrix}\right.$
b) Giải phương trình: $\sqrt[3]{x+6}+\sqrt{x-1}=x^2-1$

a) Cộng 2 vế Phương trình lại ta được: $(x-y+3)^2=0\Leftrightarrow x=y-3$
Thay vào phương trình sau: $y^2+9=2y^2-6y\Leftrightarrow y^2-6y-9\Leftrightarrow ...$
b) PT $\Leftrightarrow \sqrt[3]{x+6}-2+\sqrt{x-1}-1=(x-2)(x+2)(x\geq 1)$
$\Leftrightarrow \frac{x-2}{\sqrt[3]{(x+6)^2}+2\sqrt[3]{x+6}+4}+\frac{x-2}{1+\sqrt{x-1}}=(x-2)(x+2)\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=2 \\ x+2=\frac{1}{\sqrt[3]{(x+6)^2}+2\sqrt[3]{x+6}+4}+\frac{1}{1+\sqrt{x-1}} \end{bmatrix}$
Đến đây dùng điều kiện chứng minh phương trình sau vô nghiệm

Edited by triethuynhmath, 06-01-2013 - 18:07.

[Zaraki]

Có ở link này rồi mà nhỉ ??
http://diendantoanho...chuyen-ha-tinh/