Tính tích phân:
$$I=\int_{0}^{1}\frac{dx}{(1+x^n)\sqrt[n]{1+x^n}}$$
[ĐH Thái Nguyên]
#1
Đã gửi 07-01-2013 - 12:11
Mrnhan
-
- Thành viên
-
- 1100 Bài viết
$\text{Uchiha Itachi}$
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
#2
Đã gửi 14-01-2013 - 17:54
Minkboo
-
- Thành viên
-
- 3 Bài viết
Lính mới
$Có I=\int_{0}^{1}\frac{dx}{(1+x^{n}).\sqrt[n]{1+x^{n}}}=\int_{0}^{1}\frac{1+x^{n}}{(1+x^{n}).\sqrt[n]{1+x^{n}}}dx-\int_{0}^{1}x.\frac{x^{n-1}}{\sqrt[n]{(1+x^{n})^{n+1}}}dx$
$=\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[n]{1+x^{n}}}-\int_{0}^{1}x.\frac{x^{n-1}}{\sqrt[n]{(1+x^{n})^{n+1}}}dx$
Tính $J=\int_{0}^{1}x.\frac{x^{n-1}}{\sqrt[n]{(1+x^{n})^{n+1}}}dx$
Đặt $\left\{\begin{matrix} u=x & \\ v'=\frac{x^{n-1}}{\sqrt[n]{(1+x^{n})^{n+1}}} & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} u'=1 & \\ v=-\frac{1}{\sqrt[n]{1+x^{n}}} & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow J=-\frac{x}{\sqrt[n]{1+x^{n}}}\mid _{0}^{1}+\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[n]{1+x^{n}}}$
Vậy $I=\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[n]{1+x^{n}}}dx-J=\frac{x}{\sqrt[n]{1+x^{n}}}\mid _{0}^{1}=\frac{1}{\sqrt[n]{2}}$
$=\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[n]{1+x^{n}}}-\int_{0}^{1}x.\frac{x^{n-1}}{\sqrt[n]{(1+x^{n})^{n+1}}}dx$
Tính $J=\int_{0}^{1}x.\frac{x^{n-1}}{\sqrt[n]{(1+x^{n})^{n+1}}}dx$
Đặt $\left\{\begin{matrix} u=x & \\ v'=\frac{x^{n-1}}{\sqrt[n]{(1+x^{n})^{n+1}}} & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} u'=1 & \\ v=-\frac{1}{\sqrt[n]{1+x^{n}}} & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow J=-\frac{x}{\sqrt[n]{1+x^{n}}}\mid _{0}^{1}+\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[n]{1+x^{n}}}$
Vậy $I=\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[n]{1+x^{n}}}dx-J=\frac{x}{\sqrt[n]{1+x^{n}}}\mid _{0}^{1}=\frac{1}{\sqrt[n]{2}}$
- Mrnhan yêu thích
-----Ở đâu có ý chí, ở đó có con đường-----
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
