Chủ đề này có 1 trả lời

[viet 1846]

Có tồn tại hay không hàm $f$ liên tục trên $(1;+\infty )$ thỏa mãn

$\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)$

\[\int\limits_x^{{x^2}} {f\left( t \right)} dt = 1\]

[phudinhgioihan]

Có tồn tại hay không hàm $f$ liên tục trên $(1;+\infty )$ thỏa mãn

$\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)$

\[\int\limits_x^{{x^2}} {f\left( t \right)} dt = 1\]

$$\int_x^{x^2}f(t)dt =1 $$

$$\Rightarrow 2x f(x^2)-f(x)=0 $$

$$\Rightarrow f(x)=\dfrac{f(x^{\frac{1}{2}})}{2x^{\frac{1}{2}}}$$

Do đó , $$\forall n \in \mathbb{N}^* \;, f(x)=\dfrac{f(x^{\frac{1}{2}})}{2x^{\frac{1}{2}}}=\dfrac{f(x^{\frac{1}{2^2}})}{2^2x^{1-\frac{1}{2^2}}}$$

$$=...=\dfrac{f(x^{\frac{1}{2^n}})}{2^n x^{1-\frac{1}{2^n}}} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$$

Do đó $\forall x>1 \;, f(x)=0 $ , nhưng $\int_x^{x^2} 0dx=0 \;, \forall x \in \mathbb{R}$ , vậy không tồn tại hàm số thỏa yêu cầu giả thiết.