Cho $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0\\ xyz=1\end{matrix}\right.$
Tìm GTLN $f=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}$
Cho $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0\\ xyz=1\end{matrix}\right.$ Tìm GTLN $\sum \frac{1}{x^3+y^3+1}$
Bắt đầu bởi jb7185, 09-01-2013 - 19:45
#2
Đã gửi 09-01-2013 - 19:51
Math Is Love
-
- Thành viên
-
- 620 Bài viết
$\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$
Bài này đã quá quen thuộc rồi!Cho $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0\\ xyz=1\end{matrix}\right.$
Tìm GTLN $f=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}$
Sử dụng BĐT:
$$x^3+y^3+1=(x+y)(x^2+y^2-xy)+xyz\geq xy(x+y)+xyz=xy(x+y+z)$$
Đến đây dễ rồi!
- N H Tu prince, Dung Dang Do, Oral1020 và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 09-01-2013 - 19:55
Oral1020
-
- Thành viên
-
- 1225 Bài viết
Thịnh To Tướng
Cách khác:D
Ta có $x^3+y^3 \ge xy(x+y)$
$\Longrightarrow x^3+y^3+1 \ge xy(x+y)+xyz=xy(x+y+z)$
$\Longleftrightarrow \sum \dfrac{1}{x^3+y^3+1} \le \sum \dfrac{z}{xyz(x+y+z)}=\sum \dfrac{x+y+z}{x+y+z}=1$
Vậy GTLN là $1$ khi $x=y=z=1$
Ta có $x^3+y^3 \ge xy(x+y)$
$\Longrightarrow x^3+y^3+1 \ge xy(x+y)+xyz=xy(x+y+z)$
$\Longleftrightarrow \sum \dfrac{1}{x^3+y^3+1} \le \sum \dfrac{z}{xyz(x+y+z)}=\sum \dfrac{x+y+z}{x+y+z}=1$
Vậy GTLN là $1$ khi $x=y=z=1$
- N H Tu prince, Dung Dang Do, VNSTaipro và 1 người khác yêu thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
