Cho a,b,c > 0 và $a+b+c=abc$ . Tìm Max
$P=\frac{a^{2}}{a^{2}+1}+\frac{b^{2}}{b^{2}+1}+\frac{c^{2}}{c^{2}+1}$
$P=\frac{a^{2}}{a^{2}+1}+\frac{b^{2}}{b^{2}+1}+\frac{c^{2}}{c^{2}+1}$
Bắt đầu bởi vinh1712, 10-01-2013 - 04:50
#2
Đã gửi 10-01-2013 - 07:33
Laser Angry Bird
-
- Thành viên
-
- 81 Bài viết
Hạ sĩ
Mình xin giải bằng phương pháp lượng giác hóa.Cho a,b,c > 0 và $a+b+c=abc$ . Tìm Max
$P=\frac{a^{2}}{a^{2}+1}+\frac{b^{2}}{b^{2}+1}+\frac{c^{2}}{c^{2}+1}$
Đặt tanA=a, tanB=b, tanC=c
Khi đó: tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC
Suy ra: A,B,C là 3 góc của 1 tam giác.
Khi đó: P= $\sum \frac{1}{1+\frac{1}{a^{2}}}=\sum \frac{1}{1+\frac{1}{tan^{2}A}}=\sum \frac{1}{1+cot^{2}A}=\sum sin^{2}A\leqslant \frac{9}{4}$
ĐTXR: A=B=C=$\frac{\pi }{3}$
Hay a=b=c=$\sqrt{3}$
- hamdvk, 19kvh97, triethuynhmath và 3 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 10-01-2013 - 14:12
minhtuyb
-
- Thành viên
-
- 470 Bài viết
Giả ngu chuyên nghiệp
OTHER SOLUTION:Cho a,b,c > 0 và $a+b+c=abc$ . Tìm Max
$P=\frac{a^{2}}{a^{2}+1}+\frac{b^{2}}{b^{2}+1}+\frac{c^{2}}{c^{2}+1}$
-Ta sẽ chứng minh:
$$S=\sum \dfrac{a^2}{a^2+1}\le \dfrac{9}{4}$$
-Từ giả thiết đã cho suy ra:
$$a^2+1=a^2.\dfrac{a+b+c}{abc}+1=\dfrac{a(a+b+c)+bc}{bc}=\dfrac{(a+b)(a+c)}{bc}$$
Vậy nên:
$$S=\sum \dfrac{a^2bc}{(a+b)(a+c)}=abc.\dfrac{\sum a(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=2.\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$
- Sử dụng BĐT quen thuộc:
$$(a+b)(b+c)(c+a)\ge \dfrac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$$
Suy ra:
$$S\le \dfrac{9}{4}$$
Vậy $max S=\dfrac{9}{4}$ khi $a=b=c=\sqrt{3}\ \square$
- hamdvk, 25 minutes và tramyvodoi thích
Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
