Chủ đề này có 2 trả lời

[DarkBlood]

Cho tam giác $\mathrm{ABC}.$ Gọi $\mathrm{D}$ là trung điểm $\mathrm{BC}.$ Trên hai cạnh $\mathrm{AB}$ và $\mathrm{AC}$ lấy hai điểm $\mathrm{E}$ và $\mathrm{F}$. Chứng minh rằng $\mathrm{S_{DEF}}\leq \frac{1}{2}\mathrm{S_{ABC}}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 10-01-2013 - 23:47

[L Lawliet]

Cho tam giác $\mathrm{ABC}.$ Gọi $\mathrm{D}$ là trung điểm $\mathrm{BC}.$ Trên hai cạnh $\mathrm{AB}$ và $\mathrm{AC}$ lấy hai điểm $\mathrm{E}$ và $\mathrm{F}$. Chứng minh rằng $\mathrm{S_{DEF}}\leq \frac{1}{2}\mathrm{S_{ABC}}.$

Lời giải: Gọi $E'$ là điểm đối xứng của $E$ qua $D$.
Ta có:
$$\triangle BED=\triangle CE'D\\ S_{DEF}=S_{DE'F}\leq S_{DE'CF} \ \ \left ( 1 \right )\\ S_{DEF}\leq S_{AEDF} \ \ \left ( 2 \right )$$
Cộng $\left ( 1 \right )$ và $\left ( 2 \right )$ vế theo vế ta được $2S_{DEF}\leq S_{ABC}$ hay $S_{DEF}\leq \dfrac{1}{2}S_{ABC}$.
Dấu bằng xảy ra khi $EF=AB$ hoặc $EF=AC$ (vì $AD$ là đường trung tuyến trong $\triangle ABC$). $\blacksquare$
====================
Bài toán tương tự: Cho tam giác $ABC$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M$ tùy ý. Đường thẳng qua $M$ và song song với $AB$ cắt $AC$ ở $P$. Đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ cắt $AB$ ở $Q$. Chứng minh rằng $S_{APMQ}\leq \dfrac{1}{2}S_{ABC}$, dấu "$=$" xảy ra khi nào?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 11-01-2013 - 09:06

[DarkBlood]

Bài toán tương tự: Cho tam giác $ABC$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M$ tùy ý. Đường thẳng qua $M$ và song song với $AB$ cắt $AC$ ở $P$. Đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ cắt $AB$ ở $Q$. Chứng minh rằng $S_{APMQ}\leq \dfrac{1}{2}S_{ABC}$, dấu "$=$" xảy ra khi nào?

Giả sử $CM\leq BM.$
Trên tia đối tia $MC$ lấy $C'$ sao cho $MC=MC'.$
Qua $C'$ dựng đường thẳng song song với $AC$ cắt $AB,$ $PM$ lần lượt tại $A'$ và $P'$
Ta có:
$\bigtriangleup MPC=\bigtriangleup MP'C'$
$\Rightarrow S_{MPC}=S_{MP'C'}$ và $MP=MP'$
Dễ dàng chứng minh được $AQMP$ và $A'QMP'$ là hình bình hành.
Xét hình bình hành $AQMP$ và $A'QMP',$ có $MP=MP'$ và chung đường cao hạ từ $Q$ nên $S_{AQMP}=S_{A'QMP'}$
Ta có:
$S_{A'QMC'}\leq S_{BMQ}$
$\Rightarrow S_{A'QMC'}+S_{MP'C'}\leq S_{BMQ}+S_{MPC}$
$\Rightarrow S_{A'QMP'}\leq S_{BMQ}+S_{MPC}$
$\Rightarrow S_{AQMP}+S_{AQMP}\leq S_{BMQ}+S_{MPC}+S_{AQMP}=S_{ABC}$
$\Rightarrow S_{AQMP}\leq \frac{1}{2}S_{ABC}$
Chứng minh tương tự với trường hợp $BM\leq CM.$
____________________
Xét $M$ trung điểm $BC,$ dễ dàng chứng minh được $Q,$ $P,$ lần lượt là trung điểm $AB,$ $AC.$
Do đó $AQ=\frac{1}{2}AB;$ $AP=\frac{1}{2}AC$
$\Rightarrow S_{AQM}=\frac{1}{2}S_ABM;$ $S_{APM}=\frac{1}{2}S_ACM$
$\Rightarrow S_{AQM}+ S_{APM}=\frac{1}{2}S_ABM+\frac{1}{2}S_ACM$
$\Rightarrow S_{AQMP}=\frac{1}{2}S_{ABC}$
Vậy $S_{AQMP}=\frac{1}{2}S_{ABC}$ khi $M$ là trung điểm $BC.$
____________________
Cảm ơn anh Gin Escaper

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 11-01-2013 - 11:35