Chủ đề này có 2 trả lời

[hungmitom]

Chứng minh các bất dẳng thức sau với $a,b,c$ dương:

a) 2(a+b+c)$\leq$abc+$3\sqrt{3}$ với $a^2+b^2+c^2=9$

b) $a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(b+a)\leq 6$ với $a^2+b^2+c^2=3$

c) $a^2+b^2+c^2+3\geq a+b+c +ab+ac+bc$ với $abc=1$

d)$a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+ac+bc)$ với $abc=1$

___
NLT: Chú ý tiêu đề bài viết, tiện thể cho hỏi hungmitom là ai vậy? Nếu chuyên Lqđ Bình định thì pm tôi nha !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 11-01-2013 - 16:04

[25 minutes]

Câu c,d :
$\sum a^2+3\geq \sum a+\sum ab$
$\Leftrightarrow 2\sum a^2+2abc+4\geq 2\sum a+2\sum ab$
Áp dụng bât đẳng thức quen thuộc sau và Am-Gm ta có
$a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ac)$
$a^2+b^2+c^2+3\geq 2(a+b+c)$
$\Rightarrow$ Q.e.D
Câu d : $a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{abc}=a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ac)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 11-01-2013 - 14:38

[maitienluat]

Chuyển sang $p,q,r$
b) Giả thiết: $p^{2}-2q= 3$
Q.e.D $\Leftrightarrow p^{2}q-2q^{2}-pr\leq 6\Leftrightarrow q(p^{2}-2q)-pr\leq 6\Leftrightarrow \frac{3}{2}.2q-pr\leq 6\Leftrightarrow \frac{3}{2}p^{2}-pr\leq \frac{21}{2}$
Theo Schur(bậc 4) thì $p^{4}-5p^{2}q+4q^{2}+6pr\geq 0\Leftrightarrow -6pr\leq p^{4}-\frac{5}{2}p^{2}.2q+(2q)^{2}=...=\frac{-1}{2}p^{4}+\frac{3}{2}p^{2}+9$
Nên ta sẽ c/minh BĐT mạnh hơn là
$\frac{1}{12}p^{4}-\frac{7}{4}p^{2}-9\geq 0\Leftrightarrow (9-p^{2})(12-p^{2})\geq 0$ (đúng)
c) Q.e.D $\Leftrightarrow p^{2}+3\geq p+3q$
Theo Schur(bậc 3) thì $p^{3}+9r\geq 4pq\Leftrightarrow q\leq \frac{p^{3}+9}{4p}$
Nên ta sẽ c/minh BĐT mạnh hơn là
$p^{2}+3\geq p+\frac{3p^{3}+27}{4p}\Leftrightarrow (p-3)(p^{2}-p+9)\geq 0$ (đúng)
d) Q.e.D $\Leftrightarrow p^{2}+p\geq 4q$
Tương tự như trên ta cũng có $q\leq \frac{p^{3}+9}{4p}$
Nên ta sẽ c/minh BĐT mạnh hơn là
$p^{2}+p\geq \frac{p^{3}+9}{p}\Leftrightarrow p^{2}\geq 9$ (đúng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 11-01-2013 - 14:32