Chủ đề này có 3 trả lời

[mathematics1]

CMR:$C_{2m}^{m}\textrm{}+2\sum_{k=0}^{m-1}C_{2m}^{k}\textrm{} cos2(m-k)x=2^{2m}.(cosx)^{2m}$
với $m,k \in N$

p/s:đề hôm trước ghi nhầm sorry mọi người nha!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathematics1: 26-01-2013 - 22:37

[dark templar]

CMR:$\sum_{k=0}^{m}C_{2m}^{k}\textrm{} cos2(m-k)x=2^{2m}.(cosx)^{2m}$
với $m,k \in N$

Bài này đề sai với $m=1,m=2$ Mong chủ topic cập nhật lại đề

[hxthanh]

Đề bài có lẽ là:
Chứng minh rằng:
$\sum_{k=0}^n{n\choose k} \cos\left[(n-2k)x\right]=2^n\cos^nx$

Nếu $n$ chẵn, tức $n=2m$ thì

$\sum_{k=0}^{2m}{2m\choose k} \cos\left[2(m-k)x\right]=2^{2m}\cos^{2m}x$
__________________________________
P/s: Bài này giải bằng SPTP thì ... ngon!

[dark templar]

Đề bài có lẽ là:
Chứng minh rằng:
$\sum_{k=0}^n{n\choose k} \cos\left[(n-2k)x\right]=2^n\cos^nx$

Nếu $n$ chẵn, tức $n=2m$ thì

$\sum_{k=0}^{2m}{2m\choose k} \cos\left[2(m-k)x\right]=2^{2m}\cos^{2m}x$
__________________________________
P/s: Bài này giải bằng SPTP thì ... ngon!

Đúng thật là SPTP ngon thật
Ta có :

\[\begin{array}{rcl}
\sum\limits_{k = 0}^n {\binom{n}{k}\cos \left( {n - 2k} \right)x} &=& \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( { - 1} \right)}^k}\binom{n}{k}} {\left( { - 1} \right)^k}\cos \left( {n - 2k} \right)x\\
&=& \sum\limits_{k = 0}^n {\Delta \left[ {{{\left( { - 1} \right)}^{k - 1}}\binom{n - 1}{k - 1}} \right]{{\left( { - 1} \right)}^k}\cos \left( {n - 2k} \right)x} \\
&=& \left[ {{{\left( { - 1} \right)}^{k - 1}}\binom{n - 1}{k - 1}{{\left( { - 1} \right)}^k}\cos \left( {n - 2k} \right)x} \right]_{k = 0}^{n + 1} - \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{{\left( { - 1} \right)}^k}\binom{n - 1}{k}\Delta \left[ {{{\left( { - 1} \right)}^k}\cos \left( {n - 2k} \right)x} \right]} \\
&=& \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\binom{n - 1}{k}\left[ {\cos \left( {n - 2k - 2} \right)x + \cos \left( {n - 2k} \right)x} \right]} \\
&=& 2\cos x\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\binom{n - 1}{k}\cos \left( {n - 2k - 1} \right)x} = ... = {2^n}{\cos ^n}x
\end{array}\]