Chủ đề này có 1 trả lời

[hungpronc1]

Tính tích phân : $\int \frac{\text{xe}^{\text{x}} + 1}{(\text{e}^{\text{x}} + \text{x})^{2}}\text{dx}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 12-01-2013 - 20:42

[Minkboo]

Có $\int \frac{x.e^{x}+1}{(e^{x}+x)^{2}}dx=\int \frac{e^{x}(e^{x}+x)-e^{2x}+1}{(e^{x}+x)^{2}}dx=\int \frac{e^{x}}{e^{x}+x}dx-\int \frac{e^{2x}-1}{(e^{x}+x)^{2}}dx$
Tính $I=\int \frac{e^{x}}{e^{x}+x}dx$
$\left\{\begin{matrix}
Đặt u=\frac{1}{e^{x}+x} & \\
v'=e^{x}&
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
u'=-\frac{e^{x}+1}{(e^{x}+x)^{2}} & \\
v=e^{x} &
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow I=\frac{e^{x}}{e^{x}+x}+\int \frac{e^{2x}+e^{x}}{(e^{x}+x)^{2}}dx$
Vậy $\int \frac{x.e^{x}+1}{(e^{x}+x)^{2}}dx=\frac{e^{x}}{e^{x}+x}+\int \frac{e^{2x}+e^{x}}{(e^{x}+x)^{2}}dx-\int \frac{e^{2x}-1}{(e^{x}+x)^{2}}dx$
$=\frac{e^{x}}{e^{x}+x}+\int \frac{e^{x}+1}{(e^{x}+x)^{2}}dx=\frac{e^{x}}{e^{x}+x}-\frac{1}{e^{x}+x}=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+x}$