Chủ đề này có 3 trả lời

[jb7185]

Đây là bài BĐT của đề thi thử trường em chiều nay.
Cho $a,b,c$ đôi một khác nhau. CMR:
$\frac{a^3-b^3}{(a-b)^3}+\frac{b^3-c^3}{(b-c)^3}+\frac{c^3-a^3}{(c-a)^3}\geq \frac{9}{4}$

[nthoangcute]

Đây là bài BĐT của đề thi thử trường em chiều nay.
Cho $a,b,c$ đôi một khác nhau. CMR:
$\frac{a^3-b^3}{(a-b)^3}+\frac{b^3-c^3}{(b-c)^3}+\frac{c^3-a^3}{(c-a)^3}\geq \frac{9}{4}$

Đề khó quá !
$$\frac{a^3-b^3}{(a-b)^3}+\frac{b^3-c^3}{(b-c)^3}+\frac{c^3-a^3}{(c-a)^3}- \frac{9}{4}\\
=\dfrac{3}{4}\,{\frac { \left( b{a}^{2}+a{b}^{2}+c{a}^{2}-6\,bca+{b}^{2}c+{c}^{2
}a+b{c}^{2} \right) ^{2}}{ \left( c-a \right) ^{2} \left( b-c
\right) ^{2} \left( a-b \right) ^{2}}}$$

[IloveMaths]

Đề khó quá !
$$\frac{a^3-b^3}{(a-b)^3}+\frac{b^3-c^3}{(b-c)^3}+\frac{c^3-a^3}{(c-a)^3}- \frac{9}{4}\\
=\dfrac{3}{4}\,{\frac { \left( b{a}^{2}+a{b}^{2}+c{a}^{2}-6\,bca+{b}^{2}c+{c}^{2
}a+b{c}^{2} \right) ^{2}}{ \left( c-a \right) ^{2} \left( b-c
\right) ^{2} \left( a-b \right) ^{2}}}$$

sao chị lại nghĩ đến cách làm như vậy

[maitienluat]

1 cách giải khác.
Ta có BĐT quen thuộc sau: $\left ( \frac{a+b}{a-b} \right )^{2}+\left ( \frac{b+c}{b-c} \right )^{2}+\left ( \frac{c+a}{c-a} \right )^{2}\geq 2$ (*)
BĐT đã cho tương đương với: $\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{(a-b)^{2}}+\frac{b^{2}+bc+c^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{c^{2}+ca+a^{2}}{(c-a)^{2}}\geq \frac{9}{4}$
Đây chỉ là hệ quả của 2 BĐT sau:
$\frac{ab}{(a-b)^{2}}+\frac{bc}{(b-c)^{2}}+\frac{ca}{(c-a)^{2}}\geq \frac{-1}{4}$ (1)
$\frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}+\frac{b^{2}+c^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{c^{2}+a^{2}}{(c-a)^{2}}\geq \frac{5}{2}$ (2)
(1) được suy ra từ (*) khi bớt 1 ở mỗi hạng tử ở vế trái.
(2) được suy ra từ (*) khi thêm 1 ở mỗi hạng tử ở vế trái.