Chủ đề này có 1 trả lời

[trannangdaiphu]

Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} x=y(4-y)\\ y=z(4-z)\\ z=x(4-x) \end{matrix}\right.$ Tìm tất cả các giá trị S = x + y + z

[banhgaongonngon]

Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} x=y(4-y)\\ y=z(4-z)\\ z=x(4-x) \end{matrix}\right.$ Tìm tất cả các giá trị S = x + y + z

Đây là một bài giải hệ phương trình trá hình.

$\left\{\begin{matrix} x=y(4-y) \\ y=z(4-z) \\ z=x(4-x) \end{matrix}\right.$ $(I)$

Ta thấy $(x;y;z)=(0;0;0)$ là một nghiệm của hệ.

Nên ta chỉ xét trường hợp $\left\{\begin{matrix} x\neq 0\\ y\neq 0 \\ z\neq 0 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow xyz\neq 0$

Nhân vế với vế 3 phương trình của hệ:
$xyz=xyz(4-x)(4-y)(4-z)$
$\Leftrightarrow (4-x)(4-y)(4-z)=1$
$\Leftrightarrow 16(x+y+z)-4(xy+yz+zx)+xyz=63$

Cộng từng vế 3 phương trình trong hệ:

$3(x+y+z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Nhân PT $(1)$ với $y$, nhân phương trình $(2)$ với $z$, nhân phương trình $(3)$ với $x$ rồi cộng lại ta được

$x^{3}+y^{3}+z^{3}-4(x^{2}+y^{2}+z^{2})+xy+yz+zx=0$

Từ đó lập hệ phương trình mới, tìm được $(S=0)\vee (S=6)\vee (S=7)\vee (S=9)$