Chủ đề này có 1 trả lời

[luckystar1107458]

Với $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ là $3$ số dương thỏa $ab + ac + bc = abc$.
Chứng minh :
$\frac{a^{2}}{a+bc}+\frac{b^{2}}{b+ca}+\frac{c^{2}}{c+ab}\geqslant \frac{a+b+c}{4}$.
MOD : Chú ý tiêu đề. Nêu lần sau còn tái phạm, topic của bạn sẽ bị khóa.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 15-01-2013 - 21:10

[maitienluat]

Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z\Rightarrow x+y+z=1$. BĐT đã cho tương đương với:
$$\frac{yz}{xyz+x^{2}}+\frac{xz}{xyz+y^{2}}+\frac{xy}{xyz+z^{2}}\geq \frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}$$
$$\Leftrightarrow \frac{3}{x}+\frac{3}{y}+\frac{3}{z}\geq \frac{4}{xy+z}+\frac{4}{xz+y}+\frac{4}{xy+z}$$
$$\Leftrightarrow \frac{3}{x}+\frac{3}{y}+\frac{3}{z}\geq \frac{4}{(z+x)(x+y)}+\frac{4}{(x+y)(z+y)}+\frac{4}{(x+z)(y+z)}$$
$$\Leftrightarrow 3(x+y)(y+z)(z+x)(xy+yz+zx)\geq 8xyz$$
Đây là hệ quả của 2 BĐT sau:
$$(x+y)(y+z)(z+x)\geq \frac{8}{9}(xy+yz+zx)$$
$$(xy+yz+zx)^{2}\geq 3xyz$$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 16-01-2013 - 14:20