THỬ SỨC TRƯỚC KỲ THI ĐẠI HỌC DIỄN ĐÀN K2PI NĂM 2013
ĐỀ SỐ 07 - Thứ 7, ngày 12-01-2013
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
[Câu I (2,0 điểm)] Cho hàm số $y = {x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 12mx + m + 4,\,\,\,\,\left( {{C_m}} \right)$
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $(C_m)$ khi $m=0$.
2. Gọi $A$ và $B$ lần lượt là các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số $(C_m)$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để khoảng cách giữa giữa hai đường thẳng tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của đồ thị $C_m)$ bằng $4$.
[Câu II. (2,0 điểm) ].
1. Giải phương trình :$\dfrac{{{{\cos }^3}x\left( {\cos x - 2\sin x} \right) - \cos 2x - {{\cos }^2}x}}{{\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).\tan \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)}} = 0$.
2. Giải phương trình $\sqrt[4]{{3\left( {x + 5} \right)}} - \sqrt[4]{{x + 13}} = \sqrt[4]{{11 - x}} - \sqrt[4]{{3\left( {3 - x} \right)}}$
[Câu III (1,0 điểm)] Tính tích phân $I = \int\limits_2^e {\frac{{1 + \ln x\left( {x - 1} \right) - {{\ln }^2}x}}{{{{\left( {1 + x\ln x} \right)}^2}}}} dx$
[Câu IV (1,0 điểm)] Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật cạnh $AB=a, BC=a\sqrt{2}$ . Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SD$ và $AD$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $BM$ cắt mặt phẳng $(SAC)$ theo một đường thẳng vuông góc với $BM$ . Giả sử $BN$ cắt $AC$ tại $I$, gọi $J$ là trung điểm của $IC$. Biết khoảng cách từ đỉnh $S$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng $\dfrac{2\sqrt{2}a}{3}.$ Tính thể tích khối chóp $BMDJ$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $DM$ và $BJ$ theo $a$.
[Câu V (1,0 điểm)]
Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $2\left( {9{z^2} + 16{y^2}} \right) = \left( {3z + 4y} \right)xyz$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$$P = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2}} + \frac{{{y^2}}}{{{y^2} + 3}} + \frac{{{z^2}}}{{{z^2} + 4}} + \frac{{5xyz}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right)\left( {z + 4} \right)}}$$
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần ( phần A hoặc phần B )
A. Theo chương trình chuẩn
[Câu VI.a (2,0 điểm)].
1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$ . Tam giác $ABH$ ngoại tiếp đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - \dfrac{{16}}{5}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{{33}}{5}} \right)^2} = \dfrac{{36}}{{25}}$ . Tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ACH$ là $I\left( {\dfrac{{26}}{5};\dfrac{{23}}{5}} \right)$ . Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A\left( {2;2;5} \right)$ và $B\left( {1;1;7} \right)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đường tròn $ \left( C \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {z - 2} \right)}^2} = 9}\\
{x + y + z - 7 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}
\end{array}} \right.$ để tam giác $MAB$ có diện tích nhỏ nhất.
[Câu VII.a (1,0 điểm)] Giải bất phương trình : $3 + \dfrac{4}{{\sqrt {6 - {2^x}} + \sqrt {2 + {2^x}} }} \ge 2\sqrt {8 - \sqrt {\left( {6 - {2^x}} \right)\left( {{2^x} + 2} \right)} } $
B. Theo chương trình nâng cao
[Câu VI.b (2,0 điểm)]
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho hình chữ nhật $ABCD$ nội tiếp đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I(1;2)$ . Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $B, C, D$ cắt nhau tại $M, N$. Giả sử $H(1;-1)$ là trực tâm tam giác $AMN$ . Tìm tọa độ các điểm $A,B,M,N$ biết rằng chu vi tam giác $AMN$ bằng $28+4\sqrt{10}$.
2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \dfrac{14}{3}$ và đường thẳng $d:\dfrac{{x - 4}}{3} = \dfrac{{y - 4}}{2} = \dfrac{{z - 4}}{1}$ . Tìm trên đường thẳng $d$ các điểm $A$ sao cho từ $A$ có thể kẻ được $3$ tiếp tuyến đến mặt cầu $(S)$ sao cho tứ diện $ABCD$ là tứ diện đều ( trong đó $B,C,D$ là các tiếp điểm ) .
[Câu VII.b (1,0 điểm)] Giải hệ phương trình : \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\log }_2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + {{\log }_2}\left( {y + \sqrt {{y^2} + 4} } \right) = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\
{2{{\log }_2}\left( {\sqrt {2x - y + 2} + \sqrt {3y - 2x + 4} } \right) = 2{{\log }_4}\left( {5{x^2} + {y^2} + 1} \right) + 1}
\end{array}} \right.\].
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 16-01-2013 - 13:19
