Chủ đề này có 2 trả lời

[tramyvodoi]

Cho $3$ số thực $\text{a, b, c} \in \left [ 0, 1 \right ]$. Chứng minh rằng : $\frac{\text{a}}{1 + \text{bc}} + \frac{\text{b}}{1 + \text{ca}} + \frac{\text{c}}{1 + \text{ab}} < 2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 18-01-2013 - 17:10

[25 minutes]

Ta có $\left\{\begin{matrix}
(1-b)(1-c)\geq 0\\
1-a\geq 0
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow 1+1+bc\geq a+b+c\Rightarrow 2+bc\geq a+b+c\Rightarrow 2+2bc\geq a+b+c$
$\Rightarrow \frac{1}{1+bc}\leq \frac{2}{a+b+c}\Rightarrow \frac{a}{1+bc}\leq \frac{2a}{a+b+c}$
Xây dựng 2 bđt còn lại rồ cộng vào ta được $\sum \frac{a}{1+bc}\leq \sum \frac{2a}{a+b+c}=2$ ?

[Laser Angry Bird]

Chi 3 số thực a, b, c thuộc [0,1]. Chứng minh $\sum \frac{a}{1+bc}< 2$

Em còn cách này
-Với a,b,c khác 0 thì $\frac{a}{1+bc}< 1$
Nên ta có $\frac{a}{1+bc}< \frac{a+a}{a+bc+1}$
Vì $\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )\geqslant 0\Leftrightarrow 1+bc\geqslant b+c$
Do đó: $\frac{a}{1+bc}< \frac{2a}{a+b+c}$ nhưng ko xảy ra dấu =
-Với $a=b=c=0$ thì bđt đúng nhưng ko xảy ra dấu =
-Với có 2 số trong 3 số trên bằng 0 thì bđt đúng nhưng ko xảy ra dấu =
-Với có 1 số bằng 0 thì bđt đúng và dấu = khi a,b,c có 1 số bằng 0, 2 số bằng 1.